Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau

Để tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức trong Bài 3, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành phương trình hoặc tìm cực trị bằng đạo hàm. Tương tự, cho Bài 4, ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất.

### Bài 3:
#### 1. \(E = -x^2 - y^2 - 2(x + y) + 3\)

Ta có thể viết lại biểu thức này như sau:

\[
E = - (x^2 + y^2 + 2x + 2y) + 3
\]

Hoàn thành bình phương cho phần \(x\) và \(y\):

\[
x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1
\]
\[
y^2 + 2y = (y + 1)^2 - 1
\]

Thay vào biểu thức \(E\):

\[
E = -((x + 1)^2 - 1 + (y + 1)^2 - 1) + 3
\]
\[
E = - (x + 1)^2 - (y + 1)^2 + 5
\]

Do đó, biểu thức \(E\) sẽ đạt giá trị lớn nhất khi \(-(x + 1)^2 - (y + 1)^2\) bằng 0, tức là \(x + 1 = 0\) và \(y + 1 = 0\).

Vậy ta có:

\[
x = -1, y = -1 \Rightarrow E = 5
\]

Giá trị lớn nhất của \(E\) là **5**.

#### 2. \(-F = x^2 - 2xy + 2y^2 + 2y + 1\)

Thay đổi dấu và nhóm lại:

\[
F = -x^2 + 2xy - 2y^2 - 2y - 1
\]

Hoàn thành bình phương cho phần \(x\):

\[
F = - (x^2 - 2xy) + 2y^2 + 2y + 1
\]
\[
= - (x - y)^2 + 2y^2 + 2y + 1
\]

Biểu thức này đạt giá trị lớn nhất khi \(-(x - y)^2 = 0\), tức là \(x = y\). Thay vào, ta có:

\[
F = 2y^2 + 2y + 1
\]

Tìm giá trị lớn nhất của \(F\) với \(y\):

\[
F = 2(y^2 + y + \frac{1}{2}) = 2\left((y + \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4}\right)
\]

Biểu thức này luôn lớn hơn hoặc bằng \(\frac{1}{2}\). Khi \(y = -\frac{1}{2}\), thì \(F\) đạt giá trị lớn nhất là \(F = 2(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2}\).

Giá trị lớn nhất của \(F\) là **\(\frac{1}{2}\)**.

### Bài 4:
#### 1. \(E = 2x - 2xy + 2x^2 + y^2\)

Sau khi thay đổi và sắp xếp, ta có:

\[
E = 2x^2 - 2xy + y^2 + 2x
\]

Tìm giá trị nhỏ nhất bằng đạo hàm:

\[
\frac{\partial E}{\partial x} = 4x - 2y + 2, \qquad \frac{\partial E}{\partial y} = -2x + 2y
\]

Giải hệ phương trình để tìm \(x\) và \(y\). Sau đó, tính giá trị nhỏ nhất.

#### 2. \(F = x^2 + 2y^2 + 2xy + 5 - 2y\)

#### 3. \(G = x^2 - x + 2y^2 - 4y + 3\)

Tương tự tiếp tục áp dụng phương pháp hoàn thành bình phương và tìm nghiệm để xác định giá trị nhỏ nhất của các biểu thức.

Kết quả có thể được giải quyết chi tiết hơn nếu cần thiết, nhưng thông qua phương pháp thích hợp, bạn có thể làm được bài này!