Để giải bài toán, ta sẽ chứng minh theo từng yêu cầu:

### a) Chứng minh AADK = ACBE

Trước hết, ta sẽ chứng minh rằng hai tam giác \( \triangle AADK \) và \( \triangle ACBE \) có diện tích bằng nhau.

1. **Cạnh chung**: Ta nhận thấy, hai tam giác này có chung cạnh \( AD \).
2. **Chiều cao**: Độ cao của tam giác \( AADK \) từ đỉnh \( A \) hạ xuống cạnh \( DK \) và độ cao của tam giác \( ACBE \) từ đỉnh \( A \) hạ xuống cạnh \( BE \). Bởi vì \( DK = BE \) (theo giả thiết), độ dài chiều cao của hai tam giác này từ đỉnh \( A \) sẽ bằng nhau.

=> Diện tích của hai tam giác này là bằng nhau theo công thức diện tích tam giác \( S = \frac{1}{2} \cdot \text{Đáy} \cdot \text{Chiều cao} \).

Kết luận: \( S_{\triangle AADK} = S_{\triangle ACBE} \implies S_{AADK} = S_{ACBE} \).

### b) Chứng minh: Tứ giác AKCE là hình bình hành

Để chứng minh tứ giác \( AKCE \) là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của nó bằng nhau.

1. Ta có \( DK = BE \) (theo giả thiết).
2. Vì \( D \) và \( B \) là hai đỉnh của hình bình hành, nên \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \).
3. Do đó, \( AK \) và \( CE \) đều là các đoạn nối từ các đỉnh của hình bình hành đến đường chéo \( BD \).

Theo tính chất của bình hành, hai cặp cạnh đối diện trong tứ giác này đều bằng nhau:
\[
AK = CE
\]
và
\[
AD = BC \quad (do \; ABCD \; là \; hình \; bình \; hành)
\]
Kết luận: Tứ giác \( AKCE \) là hình bình hành.

### c) Chứng minh: 3 điểm M, O, N thẳng hàng

Trong phần này, ta sẽ sử dụng tính chất hình học của các đường chéo và các điểm vừa được chứng minh.

1. **M là giao điểm của AK và CD**: \( M \) thuộc đường thẳng \( CD \).
2. **N là giao điểm của CE và AB**: \( N \) thuộc đường thẳng \( AB \).
3. **O là giao điểm của AC và BD**: \( O \) thuộc đường chéo \( BD \).

Ta đã chứng minh rằng các điểm \( K \) và \( E \) chia đoạn thẳng \( BD \) thành hai đoạn bằng nhau. Do đó, điểm \( O \) nằm trên đoạn thẳng \( BD \).

Khi \( O \) là giao điểm giữa \( AC \) và \( BD \), trong khi \( M \) và \( N \) là các điểm thuộc các cạnh của hình bình hành, theo định lý Ceva cho tam giác \( ACD \) với ba điểm \( O, M, N \):

Ta có yếu tố tỉ lệ sau đây:
\[
\frac{AM}{MC} \cdot \frac{CN}{NB} \cdot \frac{BO}{OA} = 1
\]
Điều này chứng minh rằng \( M, O, N \) thẳng hàng.

Cuối cùng, đã chứng minh được ba điểm \( M, O, N \) thẳng hàng.

Kết luận: Các phần a, b, c đã được chứng minh hoàn chỉnh.