Để tính diện tích bìa cứng cần dùng để làm chiếc hộp hình lập phương có nắp đậy với thể tích \( 125 \, \text{cm}^3 \), trước tiên chúng ta cần tìm kích thước của hộp.

1. **Tính độ dài cạnh hộp:**
Gọi độ dài cạnh của hộp là \( a \). Thể tích của hộp hình lập phương được tính bằng công thức:
\[
V = a^3
\]
Với \( V = 125 \, \text{cm}^3 \), ta có:
\[
a^3 = 125
\]
Do đó:
\[
a = \sqrt[3]{125} = 5 \, \text{cm}
\]

2. **Tính diện tích bìa cứng cần dùng:**
Một hộp hình lập phương có 6 mặt. Tuy nhiên, vì có nắp đậy, chúng ta chỉ cần tính diện tích của 5 mặt.

Diện tích một mặt của hộp là:
\[
S_{\text{mặt}} = a^2
\]
Diện tích 5 mặt sẽ là:
\[
S_{\text{5 mặt}} = 5 \times a^2 = 5 \times (5 \, \text{cm})^2 = 5 \times 25 \, \text{cm}^2 = 125 \, \text{cm}^2
\]

Vậy diện tích bìa cứng cần dùng để làm chiếc hộp là \( 125 \, \text{cm}^2 \).