Một cấp số nhân có: \[ \begin{align*} u_5 - u_1 &= 15 \\ u_4 - u_2 &= 6 \\ \end{align*} \]. Tìm \( u_3 \) và \( u_7 \)

Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng tính chất của cấp số nhân.

Gọi \( u_1 = a \) là số hạng đầu, và \( r \) là công bội của cấp số nhân.

Ta có:

\[
\begin{align*}
u_2 &= a \cdot r \\
u_3 &= a \cdot r^2 \\
u_4 &= a \cdot r^3 \\
u_5 &= a \cdot r^4 \\
u_6 &= a \cdot r^5 \\
u_7 &= a \cdot r^6 \\
\end{align*}
\]

Bây giờ, từ các phương trình đã cho:

1. \( u_5 - u_1 = 15 \) ⇒ \( a r^4 - a = 15 \)
\[ a(r^4 - 1) = 15 \quad (1) \]

2. \( u_4 - u_2 = 6 \) ⇒ \( a r^3 - a r = 6 \)
\[ a(r^3 - r) = 6 \quad (2) \]

Từ (1) và (2), ta có thể biểu diễn \( a \) theo \( r \):

Từ (1):

\[
a = \frac{15}{r^4 - 1}
\]

Thay \( a \) vào (2):

\[
\frac{15}{r^4 - 1}(r^3 - r) = 6
\]

Giải phương trình trên:

\[
15(r^3 - r) = 6(r^4 - 1)
\]

\[
15r^3 - 15r = 6r^4 - 6
\]

\[
6r^4 - 15r^3 + 15r - 6 = 0
\]

Chúng ta có thể thử tìm nghiệm của phương trình này bằng cách thử một số giá trị \( r \).

Thử \( r = 2 \):

\[
6(2^4) - 15(2^3) + 15(2) - 6 = 6(16) - 15(8) + 30 - 6 = 96 - 120 + 30 - 6 = 0
\]

Vậy \( r = 2 \) là một nghiệm.

Sử dụng \( r = 2 \) để tính \( a \):

Thay vào (1):

\[
a(2^4 - 1) = 15 \quad \Rightarrow \quad a(16 - 1) = 15 \quad \Rightarrow \quad 15a = 15 \quad \Rightarrow \quad a = 1
\]

Bây giờ ta đã có \( a = 1 \) và \( r = 2 \):

\[
\begin{align*}
u_3 &= a \cdot r^2 = 1 \cdot 2^2 = 4 \\
u_7 &= a \cdot r^6 = 1 \cdot 2^6 = 64 \\
\end{align*}
\]

Vậy \( u_3 = 4 \) và \( u_7 = 64 \).