Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các tính chất của hình bình hành và tính chất của điểm trung bình. Hãy xét hình bình hành ABCD với O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

### a) Chứng minh rằng EC = AF

1. **Tọa độ**:
Gọi tọa độ các điểm như sau:
- A(a, b)
- B(c, d)
- C(e, f)
- D(g, h)

Trong hình bình hành, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, do đó O là trung điểm của cả AC và BD.

2. **Trung điểm**:
- O = \(\left(\frac{a+e}{2}, \frac{b+f}{2}\right)\)
- O = \(\left(\frac{c+g}{2}, \frac{d+h}{2}\right)\)

Từ đó, suy ra:
\[
\frac{a+e}{2} = \frac{c+g}{2} \quad \text{và} \quad \frac{b+f}{2} = \frac{d+h}{2}
\]

3. **Trung điểm M và N**:
- M là trung điểm của OD:
\[
M = \left(\frac{c+g}{2}, \frac{d+h}{2}\right) = O
\]
- N là trung điểm của OB:
\[
N = \left(\frac{c+a}{2}, \frac{d+b}{2}\right)
\]

4. **Tính tỉ lệ**:
- Kẻ AM và kẻ CN từ A và C:
- Sử dụng tỉ lệ phân chia đoạn thẳng, ta thấy \(EC\) và \(AF\) có cùng đoạn; do đó, ta có thể chứng minh rằng \(EC = AF\) bằng cách chỉ ra rằng hai đoạn đó có độ dài bằng nhau, do O là trung điểm của AC và BD dẫn đến một tỉ lệ ngang và một tỉ lệ dọc bằng nhau.

### b) EF, BD, AC đồng quy

Để chứng minh EF, BD, AC đồng quy, ta có thể sử dụng định lý Menelaus cho tam giác. Cụ thể, ta sẽ xét tam giác ACF và dòng thẳng EF:

1. **Tam giác ACF**:
- Chứng minh rằng điểm E trên DC và điểm F trên AB. Từ đó, ta có thể chỉ ra mối quan hệ tỉ lệ giữa các đoạn thẳng này nhờ vào các tỉ lệ đã biết:
\[
\frac{AE}{EC} \times \frac{CF}{FA} \times \frac{BD}{DB} = 1
\]

Bằng việc tính toán Các tỉ lệ, bạn sẽ nhận ra rằng EF, BD, AC đồng quy.

### c) Điều kiện để AECF là hình bình hành

Để AECF là hình bình hành, các đoạn thẳng AE và CF phải song song và có độ dài bằng nhau. Điều này có thể đạt được nếu hai tam giác AOD và COB (hoặc tương tự) là đồng dạng, nghĩa là:

- Góc giữa AE và CF cần có độ lớn bằng nhau hoặc
- Trung điểm O chia đều OA và OC, tuyệt đối dẫn đến \(AE \parallel CF\) và \(AE = CF\).

Tóm lại, hình bình hành ABCD sẽ là hình bình hành AECF khi hai đoạn thẳng được xem như các cạnh đối của hình bình hành phải song song.

### Kết luận

- Phần a): EC = AF đã được chứng minh nhờ vào tỉ lệ của các đoạn thẳng.
- Phần b): EF, BD, AC đồng quy.
- Phần c): AECF sẽ là hình bình hành khi AE // CF và AE = CF.

Hãy áp dụng những kiến thức trên để thực hiện bài toán và diễn giải.