Để giải phương trình \((3x + 1)^2 - 16x(x + 1)^2 = 0\), ta làm theo các bước sau:

1. **Mở rộng các biểu thức**:

\((3x + 1)^2 = 9x^2 + 6x + 1\)

\((x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1\) vậy:
\[
16x(x + 1)^2 = 16x(x^2 + 2x + 1) = 16x^3 + 32x^2 + 16x
\]

2. **Thay vào phương trình**:

\[
9x^2 + 6x + 1 - (16x^3 + 32x^2 + 16x) = 0
\]

3. **Gom các hạng tử lại**:

\[
-16x^3 + 9x^2 - 32x^2 + 6x - 16x + 1 = 0
\]
\[
-16x^3 - 23x^2 - 10x + 1 = 0
\]

Biến đổi phương trình để có dạng thuận tiện hơn:
\[
16x^3 + 23x^2 + 10x - 1 = 0
\]

4. **Áp dụng phương pháp thử nghiệm tìm nghiệm**:

Thử các nghiệm nguyên (có thể thử \(x = 0, 1, -1\), ...).

Thử \(x = -1\):
\[
16(-1)^3 + 23(-1)^2 + 10(-1) - 1 = 16(-1) + 23(1) - 10 - 1 = -16 + 23 - 10 - 1 = -4 \quad (\text{KHÔNG phải nghiệm})
\]

Thử \(x = 0\):
\[
16(0)^3 + 23(0)^2 + 10(0) - 1 = -1 \quad (\text{KHÔNG phải nghiệm})
\]

Thử \(x = 1\):
\[
16(1)^3 + 23(1)^2 + 10(1) - 1 = 16 + 23 + 10 - 1 = 48 \quad (\text{KHÔNG phải nghiệm})
\]

Thử \(x = -\frac{1}{2}\):
\[
16\left(-\frac{1}{2}\right)^3 + 23\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 10\left(-\frac{1}{2}\right) - 1 = 16\left(-\frac{1}{8}\right) + 23\left(\frac{1}{4}\right) - 5 - 1
\]
\[
= -2 + \frac{23}{4} - 5 - 1 = -2 - 5 - 1 = -8 + \frac{23}{4} = -8 + 5.75 = -2.25 \quad (\text{KHÔNG phải nghiệm})
\]

Sau khi thử nghiệm nhiều giá trị, nếu không tìm được nghiệm dễ, có thể sử dụng các phương pháp số hoặc ứng dụng định lý nghiệm để tiếp tục tìm nghiệm.

Thay vào máy tính hoặc phần mềm tính toán có thể đưa ra nghiệm chính xác của phương trình bậc ba này. Phương trình này có thể có nghiệm phức hoặc không có nghiệm thực đơn giản. Chỉ cần dùng máy tính khi thấy cần thiết.

**Kết luận**: Phương trình có thể được giải bằng cách thử nghiệm hoặc sử dụng định lý nghiệm và các phương pháp tính toán số học cụ thể hơn.