Cho ΔABC vuông tại B, đường trung tuyến BM (M thuộc AC). Từ A kề đường thẳng vuông góc với AB, đường thẳng này cắt BM tại D

Để giải bài toán này, ta sẽ làm từng phần một như sau:

### a. Chứng minh \( AD = BC \).

Gọi \( M \) là trung điểm của \( AC \).
Ta có \( AB \) và \( BC \) là hai cạnh của tam giác vuông \( ABC \). Theo định nghĩa điểm \( M \) là trung điểm thì \( AM = MC \).

Vì \( D \) nằm trên \( BM \) và đường thẳng \( AD \) vuông góc với \( AB \), nên tam giác \( ABD \) là tam giác vuông tại \( A \).

Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác \( ABD \), ta có:
\[
AD^2 + AB^2 = AB^2 \implies AD = BC
\]

### b. Chứng minh \( ABCD \) vuông.

Ta đã có tam giác vuông \( ABC \) tại \( B \). Do đó, ta chỉ cần chứng minh góc \( D \) cũng vuông.

Vì \( AD \perp AB \), và \( AD \) cắt \( BM \) tại \( D \), \( \angle ADB = 90^\circ \).

=> Tứ giác \( ABCD \) có ba góc vuông, nên \( ABCD \) là tứ giác vuông.

### c. Tứ giác \( ABCD \) là hình gì? Tại sao?

Tứ giác \( ABCD \) là hình chữ nhật vì:
- Có bốn góc vuông.
- Các cạnh đối diện bằng nhau: \( AB = DC \) và \( AD = BC \).

### d. Gọi \( H \) là trung điểm của \( DC \). Chứng minh \( MH \perp AB \).

Do \( M \) là trung điểm của \( AC \) và \( H \) là trung điểm của \( DC \), ta có:
\[
MH = \frac{MD + HC}{2}
\]

Vì \( DAC \) và \( BMC \) đều vuông tại \( A \) nên \( MH \perp AB \) theo định lý trung điểm.

Kết luận: Tứ giác \( ABCD \) là hình chữ nhật và \( MH \perp AB \).