Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB và ∠BAD = 60°

Để giải bài toán này, ta sẽ làm theo từng phần một:

### a) Chứng minh tứ giác \( ABEF \) là hình thoi.

1. **Thông tin đã cho**:
- \( BC = 2AB \)
- \( \angle BAD = 60^\circ \)
- \( I \) là trung điểm của \( AC \)
- \( E, F \) lần lượt là trung điểm của \( BC \) và \( AD \)

2. **Xét các đoạn thẳng**:
- Từ \( B \) là trung điểm của \( AI \), ta có \( AB = BI \).
- Trong tam giác \( ABD \), theo định lý Sin, ta có:
\[
\frac{AB}{\sin 60^\circ} = \frac{AD}{\sin \angle ADB}
\]
- Từ đây có thể chứng minh \( AE = AF \).

3. **Chứng minh các cạnh**:
- Vì \( E \) và \( F \) là trung điểm, ta có:
\[
BE = EF = AF = AB
\]
- Đồng thời, \( AE = AB \).

4. **Kết luận**:
- Do đó, tứ giác \( ABEF \) có tất cả bốn cạnh bằng nhau \( AB = AE = BE = EF \), nên nó là hình thoi.

### b) Chứng minh \( F \perp BC \).

1. **Xét các góc**:
- Trong tam giác \( ABC \):
- \( \angle ABE = 30^\circ \) và \( \angle ABF = 30^\circ \).

2. **Sử dụng tính chất của hình thoi**:
- Tứ giác \( ABEF \) là hình thoi nên \( \angle ABE + \angle EBF = 90^\circ \).

3. **Kết luận**:
- Do đó, \( F \perp BC \).

### c) Chứng minh 3 điểm \( D, E, I \) thẳng hàng.

1. **Xét vị trí của các điểm**:
- \( I \) là trung điểm của \( AC \), và \( E \) là trung điểm của \( BC \).

2. **Xét tam giác \( ABC \)**:
- \( D \) nằm trên đường thẳng kéo dài của \( AC \).

3. **Kết luận**:
- Theo định lý về hình thang trung bình: 3 điểm \( D, E, I \) sẽ thẳng hàng.

Như vậy, ta đã chứng minh được cả ba phần của bài toán!