Tính giá trị của biểu thức P

Để tính giá trị của biểu thức \( P = \frac{\cot \alpha + 2 \tan \alpha}{\tan \alpha + 3 \cot \alpha} \) với điều kiện \( \sin \alpha = -\frac{3}{5} \) và \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Xác định các giá trị cần thiết
Từ \( \sin \alpha = -\frac{3}{5} \), ta có thể sử dụng định lý Pythagore để tính \( \cos \alpha \):
\[
\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \implies \cos^2 \alpha + \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1
\]
\[
\cos^2 \alpha + \frac{9}{25} = 1 \implies \cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}
\]
\[
\cos \alpha = -\frac{4}{5} \quad (\text{vì } \alpha \text{ nằm trong phần tư ba})
\]

### Bước 2: Tính \( \tan \alpha \) và \( \cot \alpha \)
Tính \( \tan \alpha \):
\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}
\]

Tính \( \cot \alpha \):
\[
\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{4}{3}
\]

### Bước 3: Tính giá trị \( P \)
Giờ ta thay giá trị của \( \cot \alpha \) và \( \tan \alpha \) vào biểu thức \( P \):
\[
P = \frac{\cot \alpha + 2 \tan \alpha}{\tan \alpha + 3 \cot \alpha} = \frac{\frac{4}{3} + 2 \cdot \frac{3}{4}}{\frac{3}{4} + 3 \cdot \frac{4}{3}}
\]

Tính tử số:
\[
\frac{4}{3} + 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{4}{3} + \frac{6}{4} = \frac{4}{3} + \frac{9}{6} = \frac{4 \cdot 2 + 9}{6} = \frac{8 + 9}{6} = \frac{17}{6}
\]

Tính mẫu số:
\[
\frac{3}{4} + 3 \cdot \frac{4}{3} = \frac{3}{4} + \frac{12}{3} = \frac{3}{4} + 4 = \frac{3}{4} + \frac{16}{4} = \frac{19}{4}
\]

### Bước 4: Kết hợp lại
Kết quả cuối cùng là:
\[
P = \frac{\frac{17}{6}}{\frac{19}{4}} = \frac{17}{6} \cdot \frac{4}{19} = \frac{17 \cdot 4}{6 \cdot 19} = \frac{68}{114} = \frac{34}{57}
\]

### Kết luận
Giá trị của biểu thức \( P \) là \( \frac{34}{57} \).