Để chứng minh rằng tứ giác EFGH là hình bình hành và hình chữ nhật, ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình bình hành và phân giác.

### Chứng minh tứ giác EFGH là hình bình hành:

1. **Tính chất của phân giác:**
- Tia phân giác của một góc chia góc đó thành hai góc bằng nhau. Do đó, phân giác góc A chia thành hai góc bằng nhau là \(\angle EAB = \angle DAE\).
- Tương tự, \(\angle EBA = \angle FBC\), \(\angle EDC = \angle GCD\), và \(\angle EDC = \angle HDC\).

2. **Các bậc thang:**
- Trong hình bình hành ABCD, ta có \(AB \parallel CD\) và \(AD \parallel BC\).
- Do đó, các góc so le trong tứ giác đều bằng nhau:
\[
\angle EAB + \angle DAE = \angle FBC + \angle EBA
\]
\[
\angle GCD + \angle HDC = \angle EDC + \angle FBC
\]

3. **Sử dụng tính chất bù:**
- Vì AB // CD và các tia phân giác cắt nhau, ta có:
\[
\angle EAB + \angle EDC = 180^\circ
\]
\[
\angle FBC + \angle HDC = 180^\circ
\]

4. **Kết luận:**
- Do đó, với mỗi cặp góc ở hai đỉnh đối diện trong tứ giác EFGH đều bằng nhau, ta có:
\[
\overline{EF} \parallel \overline{GH}
\]
\[
\overline{EH} \parallel \overline{FG}
\]
- Vậy tứ giác EFGH là hình bình hành.

### Chứng minh tứ giác EFGH là hình chữ nhật:

1. **Cách tính góc:**
- Từ định nghĩa và các tính chất đã chứng minh trước, ta vẫn cần xem xét thêm về các góc.
- Góc tại mỗi đỉnh của tứ giác EFGH có thể được tính toán, dựa trên các góc trong hình bình hành ABCD.

2. **Các góc vuông:**
- Khi D là điểm mà phân giác AE cắt phân giác CF, và với điều kiện AB // CD, ta thấy ứng với mỗi cặp góc \( \angle EAB + \angle EBA = 90^\circ \) và \( \angle GCD + \angle HDC = 90^\circ \).
- Do đó, hai cặp góc này tạo thành các góc vuông, dẫn đến tứ giác EFGH có 4 góc vuông.

3. **Kết luận:**
- Tứ giác có 4 góc vuông, vậy nó là hình chữ nhật.

**Vì vậy, tứ giác EFGH là hình bình hành và hình chữ nhật.**