1. Để giải phương trình \( \frac{m}{x} - 1 = x + 1 \), ta có thể biến đổi phương trình như sau:

\[
\frac{m}{x} = x + 2
\]
\[
m = x(x + 2)
\]

Điều này thể hiện rằng \( m \) phụ thuộc vào \( x \). Để phương trình này có một nghiệm duy nhất, hàm số \( f(x) = x(x + 2) \) cần có hai nghiệm trùng nhau. Ta xét đạo hàm:

\[
f'(x) = 2x + 2
\]

Hàm này bằng 0 khi:

\[
2x + 2 = 0 \implies x = -1
\]

Kiểm tra giá trị của m khi \( x = -1 \):

\[
m = (-1)((-1) + 2) = -1 \cdot 1 = -1
\]

Duy nhất giá trị \( m = -1 \) cho một nghiệm duy nhất. Vậy \( m \) cần khác 1 để có 1 nghiệm duy nhất:

**Kết luận**: Đáp án là **B: m ≠ 1**.


2. Xét phương trình \( x^2 + mx + 1 = 0 \). Để phương trình này có nghiệm, ta kiểm tra điều kiện của delta:

\[
\Delta = m^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = m^2 - 4
\]

Ta cần \( \Delta \geq 0 \) để phương trình có nghiệm. Từ đó ta có:

\[
m^2 - 4 \geq 0 \implies (m - 2)(m + 2) \geq 0
\]

Giải bất phương trình này, ta có hai khoảng nghiệm:

1. \( m \leq -2 \)
2. \( m \geq 2 \)

Xét từng đáp án:

- A: Khi \( m = 1 \), \( \Delta = 1 - 4 = -3 < 0 \) → Không có nghiệm.
- B: Khi \( m = 0 \), \( \Delta = 0 - 4 = -4 < 0 \) → Vô nghiệm.
- C: Khi \( m = 2 \), \( \Delta = 4 - 4 = 0 \) → Có 1 nghiệm.
- D: Khi \( m < 1 \) thì \( \Delta \) có thể âm hoặc dương tùy thuộc vào giá trị.

**Kết luận**: Trong các đáp án, đáp án đúng là **C: Khi m = 2 thì phương trình có 1 nghiệm (trùng nhau)**.