Để tính khoảng cách từ điểm \( A \) đến mặt phẳng \( (GBC) \) trong hình lăng trụ đứng \( ABC.DEF \) có các cạnh bằng \( a \), trước hết, ta xác định vị trí của các điểm trong không gian.

Giả sử các điểm trong không gian như sau:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(a, 0, 0) \)
- \( C(a, a, 0) \)
- \( D(0, a, 0) \)
- \( E(0, 0, a) \)
- \( F(a, 0, a) \)

Từ đó, ta tính tọa độ trọng tâm \( G \) của tam giác \( AEF \):
\[
G = \left( \frac{x_A + x_E + x_F}{3}, \frac{y_A + y_E + y_F}{3}, \frac{z_A + z_E + z_F}{3} \right) = \left( \frac{0 + 0 + a}{3}, \frac{0 + 0 + 0}{3}, \frac{0 + a + a}{3} \right) = \left( \frac{a}{3}, 0, \frac{2a}{3} \right)
\]

Tiếp theo, để tìm mặt phẳng \( GBC \), ta cần ba điểm \( G, B, C \). Tọa độ các điểm là:
- \( G \left( \frac{a}{3}, 0, \frac{2a}{3} \right) \)
- \( B(a, 0, 0) \)
- \( C(a, a, 0) \)

Ta sẽ xác định véc tơ \( \vec{GB} \) và \( \vec{GC} \):
\[
\vec{GB} = B - G = \left( a - \frac{a}{3}, 0 - 0, 0 - \frac{2a}{3} \right) = \left( \frac{2a}{3}, 0, -\frac{2a}{3} \right)
\]
\[
\vec{GC} = C - G = \left( a - \frac{a}{3}, a - 0, 0 - \frac{2a}{3} \right) = \left( \frac{2a}{3}, a, -\frac{2a}{3} \right)
\]

Tính tích có hướng \( \vec{GB} \times \vec{GC} \):
\[
\vec{GB} \times \vec{GC} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{2a}{3} & 0 & -\frac{2a}{3} \\
\frac{2a}{3} & a & -\frac{2a}{3}
\end{vmatrix}
= \mathbf{i} \left( 0 - a \cdot -\frac{2a}{3} \right) - \mathbf{j} \left( \frac{2a}{3} \cdot -\frac{2a}{3} - \frac{2a}{3} \cdot \frac{2a}{3} \right) + \mathbf{k} \left( \frac{2a}{3} \cdot a - 0 \cdot \frac{2a}{3} \right)
\]
\[
= \mathbf{i} \left( \frac{2a^2}{3} \right) - \mathbf{j} \left( -\frac{8a^2}{9} \right) + \mathbf{k} \left( \frac{2a^2}{3} \right)
= \left( \frac{2a^2}{3}, \frac{8a^2}{9}, \frac{2a^2}{3} \right)
\]

Tiến hành tính toán, để xác định phương trình mặt phẳng \( GBC \) theo dạng:
\[
Ax + By + Cz + D = 0
\]
trong đó \( (A, B, C) \) là hệ số từ tích có hướng:
\[
A = \frac{2a^2}{3}, \quad B = \frac{8a^2}{9}, \quad C = \frac{2a^2}{3}
\]

Sử dụng \( (G) \) để tìm \( D \):
\[
D = -\frac{2a^2}{3} \cdot \frac{a}{3} - \frac{8a^2}{9} \cdot 0 - \frac{2a^2}{3} \cdot \frac{2a}{3}
= -\frac{2a^3}{9} - \frac{4a^3}{9} = -\frac{6a^3}{9} = -\frac{2a^3}{3}
\]
Phương trình mặt phẳng \( GBC \) là:
\[
\frac{2a^2}{3}x + \frac{8a^2}{9}y + \frac{2a^2}{3}z + \frac{2a^3}{3} = 0
\]

Bước tiếp theo, ta tính khoảng cách từ điểm \( A(0, 0, 0) \) đến mặt phẳng \( GBC \) bằng công thức:
\[
d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
\]
Đặt \( (x_0, y_0, z_0) = (0, 0, 0) \):
\[
d = \frac{\left| 0 + 0 + 0 - \frac{2a^3}{3} \right|}{\sqrt{\left( \frac{2a^2}{3} \right)^2 + \left( \frac{8a^2}{9} \right)^2 + \left( \frac{2a^2}{3} \right)^2}}
\]
\[
= \frac{\frac{2a^3}{3}}{\sqrt{\frac{4a^4}{9} + \frac{64a^4}{81} + \frac{4a^4}{9}}}
= \frac{\frac{2a^3}{3}}{\sqrt{\frac{36a^4}{81} + \frac{64a^4}{81}}}
= \frac{\frac{2a^3}{3}}{\sqrt{\frac{100a^4}{81}}}
= \frac{\frac{2a^3}{3}}{\frac{10a^2}{9}} = \frac{2a^3}{3} \cdot \frac{9}{10a^2} = \frac{6a}{10} = \frac{3a}{5}
\]

Vậy, khoảng cách từ điểm \( A \) đến mặt phẳng \( (GBC) \) là:
\[
\boxed{\frac{3a}{5}}
\]