Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AC. Trên tia đối của tia MN lấy điểm D sao cho MD = MN

Ta sẽ lần lượt giải quyết từng yêu cầu:

### a) Chứng minh: Tứ giác BDCN là hình bình hành.

Để chứng minh tứ giác \( BDCN \) là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác này bằng nhau.

1. Theo định nghĩa, \( M \) là trung điểm của \( BC \) và \( N \) là trung điểm của \( AC \).
2. Ta có \( BM = MC \) và \( AN = NC \).
3. Đối với điểm \( D \), ta có \( MD = MN \).
4. Xét hai cặp cạnh \( BD \) và \( CN \), theo tính chất của tam giác, ta có:
- \( BD = BM + MD = BM + MN = BM + BM = 2BM \)
- \( CN = CM + MN = CM + MD = CM + MN = CM + CM = 2CM \)

Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \) nên \( BM = MC \). Do đó:
\[
BD = 2BM = 2MC = CN
\]

Tương tự, hãy chứng minh \( DC = BN \):
1. Xét hai cặp cạnh \( DC \) và \( BN \):
- \( DC = DM + MN = MD + MN = MN + MN = 2MN \)
- \( BN = AN + NC = AN + NC = AN + AN = 2AN \)
2. Cuối cùng, dùng tính chất trung điểm \( N \) của \( AC \), ta thấy:
- \( BN = DC \)

Như vậy, \( BDCN \) có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau, do đó tứ giác \( BDCN \) là hình bình hành.

### b) Chứng minh: AD = BN

1. Ta biết từ định nghĩa: \( MD = MN \).
2. Gọi \( x \) là độ dài \( MN \). Khi đó:
\[
MD = x
\]
3. Từ các trung điểm \( M \) và \( N \), ta có:
\[
BN = AN = AC / 2 = (AC - AN) = (AC - BN)/2
\]
4. Từ đó, \( AD = MD + MN = MD + BN = x + x = 2x\).

Tiếp tục xác định các chiều dài:
- \( AD = AD \) vì cạnh AD và BN của các tam giác là tương đương về chiều dài dựa vào tính chất trung điểm.

Do đó \( AD = BN \).

### c) Tính diện tích tam giác vuông ABC

1. Diện tích của tam giác vuông \( ABC \) được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AB
\]
2. Theo đề bài, ta có \( AC = 8 \, cm \) và \( AM = 5 \, cm \). Bởi \( M \) là trung điểm của \( BC \), ta có:
\[
AB = 2 \cdot AM = 2 \cdot 5 = 10 \, cm
\]
3. Thay vào công thức tính diện tích:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 = 40 \, cm^2
\]

Vậy diện tích của tam giác vuông \( ABC \) là \( 40 \, cm^2 \).