Để chứng minh các biểu thức sau không âm với \( x, y \), ta sẽ phân tích từng trường hợp cụ thể.

### a) \( x^2 - 8x + 20 \)

Để phát biểu này không âm, ta kiểm tra định thức của đa thức bậc hai:

\[
D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 64 - 80 = -16
\]

Vì \( D < 0 \), nên hàm bậc hai này không có nghiệm thực, do đó nó luôn dương. Tìm giá trị tại đỉnh:

\[
x = -\frac{b}{2a} = \frac{8}{2} = 4
\]

Tính giá trị tại \( x = 4 \):

\[
4^2 - 8 \cdot 4 + 20 = 16 - 32 + 20 = 4 \quad (> 0)
\]

Vậy \( x^2 - 8x + 20 \geq 0 \) với mọi \( x \).

### b) \( x^2 + 5y^2 + 2x + 6y + 34 \)

Xét biểu thức này, nó có dạng tổng của các bình phương:

\[
x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1, \quad 5y^2 + 6y = 5\left(y^2 + \frac{6}{5}y\right) = 5\left(\left(y + \frac{3}{5}\right)^2 - \frac{9}{25}\right)
\]

Biểu thức trở thành:

\[
(x + 1)^2 + 5\left(y + \frac{3}{5}\right)^2 + 34 - 1 - \frac{9}{5} = (x + 1)^2 + 5\left(y + \frac{3}{5}\right)^2 + \frac{131}{5}
\]

Rõ ràng \( (x + 1)^2 \geq 0 \) và \( 5\left(y + \frac{3}{5}\right)^2 \geq 0 \), nên biểu thức này luôn lớn hơn hoặc bằng \( \frac{131}{5} \) và do đó không âm.

### c) \( 4x^2 - 12x + 11 \)

Tương tự, ta kiểm tra định thức:

\[
D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 11 = 144 - 176 = -32
\]

Vì \( D < 0 \), hàm bậc hai này cũng không có nghiệm thực. Tính giá trị tại đỉnh:

\[
x = \frac{12}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = 1.5
\]

Tính giá trị tại \( x = 1.5 \):

\[
4(1.5)^2 - 12(1.5) + 11 = 4 \cdot 2.25 - 18 + 11 = 9 - 18 + 11 = 2 \quad (> 0)
\]

Vậy \( 4x^2 - 12x + 11 \geq 0 \) với mọi \( x \).

### d) \( x^2 - 2x + y^2 + 4y + 6 \)

Chuyển đổi các điều kiện cho \( x \) và \( y \):

\[
x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1, \quad y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4
\]

Biểu thức trở thành:

\[
(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + 6 - 1 - 4 = (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + 1
\]

Rõ ràng \( (x - 1)^2 \geq 0 \) và \( (y + 2)^2 \geq 0 \), do đó biểu thức này luôn lớn hơn hoặc bằng 1 và không âm.

### Kết luận

Tất cả các biểu thức trên đều không âm với mọi giá trị của \( x \) và \( y \).