Để chứng minh rằng \( \text{ƯCLN}(a+b, a-b) \) bằng 1 hoặc bằng 2, ta sẽ xem xét hai trường hợp sau.

Giả sử \( a \) và \( b \) là hai số nguyên dương (tức là \( a, b \in \mathbb{N}^* \)), với điều kiện \( a > b \) và \( \text{ƯCLN}(a, b) = 1 \).

### Bước 1: Tính \( a+b \) và \( a-b \)

Ta có:
- \( a + b \) là tổng của hai số.
- \( a - b \) là hiệu của hai số.

### Bước 2: Tính ƯCLN

Theo định nghĩa của ƯCLN, ta cần kiểm tra các ước số chung của \( a+b \) và \( a-b \).

### Các số nguyên tố dự khảo

Gọi \( d = \text{ƯCLN}(a+b, a-b) \). Nếu \( d \) là ước số chung của \( a+b \) và \( a-b \), thì \( d \) cũng chia cả \( a + b \) và \( a - b \).

Từ đó, ta có:
- \( d \) chia \( (a+b) + (a-b) = 2a \)
- \( d \) chia \( (a+b) - (a-b) = 2b \)

Như vậy, \( d \) chia cả \( 2a \) và \( 2b \).

### Bước 3: Kết luận về ƯCLN

Vì \( \text{ƯCLN}(a, b) = 1 \), nên \( a \) và \( b \) không có ước chung nguyên tố nào khác ngoài 1.

Vậy \( \text{ƯCLN}(2a, 2b) = 2 \cdot \text{ƯCLN}(a, b) = 2 \cdot 1 = 2 \).

### Kiểm tra các trường hợp

1. **Khi \( d = 1 \)**: Nếu \( d \) là 1 thì không có ước nào chung giữa \( a+b \) và \( a-b \) ngoài 1.

2. **Khi \( d = 2 \)**: Nếu \( d = 2 \), điều đó có nghĩa rằng cả \( a+b \) và \( a-b \) đều là số chẵn. Điều này xảy ra khi một trong hai số \( a \) hoặc \( b \) là số chẵn và số còn lại là số lẻ. Bởi vì nếu cả hai \( a \) và \( b \) đều là số lẻ hoặc đều là số chẵn thì sẽ không thỏa mãn yêu cầu ƯCLN(a, b) = 1.

### Kết luận

Từ các lý luận trên, ta có thể kết luận rằng:
\[
\text{ƯCLN}(a+b, a-b) = 1 \text{ hoặc } 2
\]
đáp ứng yêu cầu chứng minh.