Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 5, ∠BAC = 120°. Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Để tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp, chúng ta có thể sử dụng công thức và các tính chất của tam giác.

### A. Tính diện tích tam giác ABC

Để tính diện tích của tam giác ABC, sử dụng công thức Heron hoặc công thức hình học cơ bản. Ở đây ta sẽ sử dụng công thức:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC)
\]

Với:

- \(AB = 3\)
- \(AC = 5\)
- \(\angle BAC = 120^\circ\)

Chúng ta có:

\[
\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Do đó,

\[
S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4}
\]

### B. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp

Bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác có thể tính bằng công thức:

\[
R = \frac{abc}{4S}
\]

Trong đó:

- \(a = BC, b = AC = 5, c = AB = 3\)
- \(S = \frac{15\sqrt{3}}{4}\)

Đầu tiên, ta cần tính độ dài cạnh \(BC\) bằng định luật cosine:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)
\]
\[
BC^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)
\]
\[
BC^2 = 9 + 25 + 15 = 49 \implies BC = 7
\]

Bây giờ chúng ta có \(a = 7\), \(b = 5\), \(c = 3\), thay vào công thức bán kính:

\[
R = \frac{7 \cdot 5 \cdot 3}{4 \cdot \frac{15\sqrt{3}}{4}} = \frac{105}{15\sqrt{3}} = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}
\]

### Kết luận

- Diện tích tam giác ABC: \(S = \frac{15\sqrt{3}}{4}\)
- Bán kính đường tròn ngoại tiếp: \(R = \frac{7\sqrt{3}}{3}\)