Để tính tổng \( B = 2^2 + 4^2 + 6^2 + \ldots + 20^2 \), trước tiên chúng ta nhận thấy rằng dãy số này là các số chẵn từ 2 đến 20.

Công thức tổng quát cho số chẵn thứ \( n \) là \( 2n \). Do đó, chúng ta có thể viết lại tổng \( B \) như sau:

\[
B = (2 \cdot 1)^2 + (2 \cdot 2)^2 + (2 \cdot 3)^2 + \ldots + (2 \cdot 10)^2
\]

Tương đương với:

\[
B = 2^2 \cdot (1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + 10^2)
\]

Bây giờ chúng ta cần tính \( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + 10^2 \). Công thức tính tổng bình phương của \( n \) số tự nhiên là:

\[
\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\]

Áp dụng công thức cho \( n = 10 \):

\[
\sum_{k=1}^{10} k^2 = \frac{10(10+1)(2 \cdot 10 + 1)}{6} = \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6}
\]

Tính giá trị:

\[
= \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} = \frac{2310}{6} = 385
\]

Vậy tổng \( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + 10^2 = 385 \).

Thay vào công thức tính tổng \( B \):

\[
B = 2^2 \cdot 385 = 4 \cdot 385 = 1540
\]

Vậy tổng \( B \) là:

\[
\boxed{1540}
\]