Để giải phương trình \( x(x+1)(x+2)(x+3) = y^2 \), ta sẽ phân tích biểu thức bên trái.

Biểu thức \( x(x+1)(x+2)(x+3) \) là tích của 4 số nguyên liên tiếp. Ta có thể viết lại như sau:

\[
x(x+1)(x+2)(x+3) = (x^2 + 3x)(x^2 + 3x + 2) = n(n+2)
\]

với \( n = x^2 + 3x \).

Giờ ta cần tìm các giá trị của \( n(n+2) = y^2 \). Điều này có nghĩa là \( n(n+2) \) cần phải là một số chính phương.

Gọi \( n(n+2) = y^2 \), ta có phương trình sau:

\[
n^2 + 2n - y^2 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:

\[
n = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4y^2}}{2} = -1 \pm \sqrt{1+y^2}
\]

Để \( n \) là một số nguyên, thì \( \sqrt{1+y^2} \) cũng phải là một số nguyên. Gọi \( m = \sqrt{1+y^2} \), ta có:

\[
m^2 - y^2 = 1
\]

Đây là phương trình Pythagoras, có nghiệm nguyên theo công thức Pell:

\[
(m-y)(m+y) = 1
\]

Nghiệm duy nhất này là \( m-y = 1 \) và \( m+y = 1 \), giải ra cho \( m \) và \( y \):

\[
m = 1 \quad \Rightarrow \quad y = 0
\]

Vì vậy, ta có trường hợp \( y = 0 \). Thay vào:

\[
n(n+2) = 0 \quad \Rightarrow \quad n = 0 \text{ hoặc } n = -2
\]

1. Khi \( n = 0 \):
\[
x^2 + 3x = 0 \quad \Rightarrow \quad x(x+3) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \text{ hoặc } x = -3
\]
Từ đó, ta có các cặp nghiệm:
- \( (x, y) = (0, 0) \)
- \( (x, y) = (-3, 0) \)

2. Khi \( n = -2 \):
\[
x^2 + 3x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x+1)(x+2) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1 \text{ hoặc } x = -2
\]
Từ đó, ta có các cặp nghiệm:
- \( (x, y) = (-1, 0) \)
- \( (x, y) = (-2, 0) \)

Vậy các cặp nghiệm nguyên \( (x, y) \) của phương trình \( x(x+1)(x+2)(x+3) = y^2 \) là:

- \( (0, 0) \)
- \( (-3, 0) \)
- \( (-1, 0) \)
- \( (-2, 0) \)

Tóm lại, nghiệm nguyên của phương trình là:
\[
(x, y) \in \{(0, 0), (-3, 0), (-1, 0), (-2, 0)\}
\]