Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x/5 + 1 = 1/(y-1)

Để tìm các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn phương trình

\[
\frac{x}{5} + 1 = \frac{1}{y-1},
\]

trước tiên, chúng ta có thể quy đổi phương trình này về dạng số hạng nhất. Ta có thể nhân cả hai vế với \(5(y - 1)\) để loại bỏ mẫu số:

\[
x(y - 1) + 5(y - 1) = 5.
\]

Rút gọn ta có:

\[
xy - x + 5y - 5 = 5.
\]

Sau đó, chúng ta thu gọn lại phương trình:

\[
xy - x + 5y - 10 = 0.
\]

Ta có thể viết lại phương trình theo dạng

\[
xy + 5y - x - 10 = 0.
\]

Bây giờ, chúng ta cần xét \(y\) như một biến và tìm giá trị tương ứng của \(x\). Cách tốt nhất để làm điều này là giải phương trình theo \(x\):

\[
x = xy + 5y - 10.
\]

Hay

\[
x = y(x + 5) - 10.
\]

Để có được các cặp nguyên, ta tiếp tục phân tích giá trị của \(y\). Khi \(y\) tăng, \(x\) có thể lấy các giá trị nguyên khác nhau.

### Ví dụ tìm cặp số nguyên:
Khi \(y = 2\):

\[
x(2) + 5(2) - 10 = 0 \implies 2x + 10 - 10 = 0 \implies 2x = 0 \implies x = 0.
\]

Cặp đầu tiên là \((0, 2)\).

Khi \(y = 3\):

\[
x(3) + 5(3) - 10 = 0 \implies 3x + 15 - 10 = 0 \implies 3x + 5 = 0 \implies x = -\frac{5}{3} \quad (\text{không phải nguyên}).
\]

Khi \(y = 4\):

\[
x(4) + 5(4) - 10 = 0 \implies 4x + 20 - 10 = 0 \implies 4x + 10 = 0 \implies x = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2} \quad (\text{không phải nguyên}).
\]

Khi \(y = 5\):

\[
x(5) + 5(5) - 10 = 0 \implies 5x + 25 - 10 = 0 \implies 5x + 15 = 0 \implies x = -3.
\]

Cặp tiếp theo là \((-3, 5)\).

Khi \(y = 6\):

\[
x(6) + 5(6) - 10 = 0 \implies 6x + 30 - 10 = 0 \implies 6x + 20 = 0 \implies x = -\frac{10}{3} \quad (\text{không phải nguyên}).
\]

Khi \(y = 7\):

\[
x(7) + 5(7) - 10 = 0 \implies 7x + 35 - 10 = 0 \implies 7x + 25 = 0 \implies x = -\frac{25}{7} \quad (\text{không phải nguyên}).
\]

Lặp lại quá trình trên cho đến khi tìm được các cặp số nguyên khác nhau. Các cặp có thể trả về cho chúng ta là \((0, 2)\) và \((-3, 5)\) cho các giá trị được thử nghiệm.

Để tiếp tục cho đến khi bạn tìm thấy tất cả các cặp số nguyên.