Để tính giới hạn:

\[
\lim_ \left( \frac{1}{\sin 2x} - \frac{1}{7x} \right)
\]

Ta sẽ biến đổi biểu thức trong giới hạn:

\[
\frac{1}{\sin 2x} - \frac{1}{7x} = \frac{7x - \sin 2x}{7x \sin 2x}
\]

Bây giờ, xử lý phần tử ở tử số \(7x - \sin 2x\). Khi \(x \to 0\), cả \(7x\) và \(\sin 2x\) đều tiến về 0. Sử dụng đẳng thức Taylor cho \(\sin 2x\):

\[
\sin 2x \approx 2x - \frac{(2x)^3}{6} = 2x - \frac{8x^3}{6} = 2x - \frac{4x^3}{3}
\]

Do đó, ta có:

\[
7x - \sin 2x \approx 7x - \left(2x - \frac{4x^3}{3}\right) = 5x + \frac{4x^3}{3}
\]

Khi \(x \to 0\), thành phần \(5x + \frac{4x^3}{3}\) có thể xấp xỉ như \(5x\).

Tiếp theo, ta thay vào giới hạn:

\[
\lim_ \frac{7x - \sin 2x}{7x \sin 2x} = \lim_ \frac{5x + \frac{4x^3}{3}}{7x \sin 2x}
\]

Thay \(\sin 2x \approx 2x\):

\[
= \lim_ \frac{5x + \frac{4x^3}{3}}{7x(2x)} = \lim_ \frac{5x + \frac{4x^3}{3}}{14x^2}
\]

Tách giới hạn:

\[
= \lim_ \left( \frac{5}{14} + \frac{4x}{42} \right) = \frac{5}{14}
\]

Vậy nên:

\[
\lim_ \left( \frac{1}{\sin 2x} - \frac{1}{7x} \right) = \frac{5}{14}
\]

Kết quả cuối cùng là:

\[
\frac{5}{14}
\]