Chúng ta sẽ giải từng phương trình để tìm giá trị của \( x \).

### A. \((x + \frac{1}{2})^3 : 3 = -\frac{1}{81}\)

Đầu tiên, nhân cả hai vế với 3:

\[
(x + \frac{1}{2})^3 = -\frac{3}{81} = -\frac{1}{27}
\]

Bây giờ, lấy căn bậc ba hai bên:

\[
x + \frac{1}{2} = -\frac{1}{3}
\]

Giải phương trình này:

\[
x = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{5}{6}
\]

### B. \((\frac{2}{3} - x)^2 = \frac{1}{4} / \frac{9}{4}\)

Chúng ta đơn giản hoá bên phải:

\[
\frac{1}{4} / \frac{9}{4} = \frac{1}{9}
\]

Vậy ta có phương trình:

\[
(\frac{2}{3} - x)^2 = \frac{1}{9}
\]

Lấy căn bậc hai hai bên:

\[
\frac{2}{3} - x = \frac{1}{3} \quad \text{hoặc} \quad \frac{2}{3} - x = -\frac{1}{3}
\]

Giải từng trường hợp:
1. Từ \(\frac{2}{3} - x = \frac{1}{3}\):
\[
x = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}
\]

2. Từ \(\frac{2}{3} - x = -\frac{1}{3}\):
\[
x = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1
\]

### C. \((- \frac{6}{7})^3 \cdot x + 4 = \frac{6}{49}\)

Tính giá trị \((- \frac{6}{7})^3\):

\[
(- \frac{6}{7})^3 = -\frac{216}{343}
\]

Thay vào phương trình:

\[
-\frac{216}{343} \cdot x + 4 = \frac{6}{49}
\]

Chuyển 4 sang mẫu 343:

\[
4 = \frac{1372}{343}
\]

Vậy ta có phương trình:

\[
-\frac{216}{343}x + \frac{1372}{343} = \frac{6}{49}
\]

Chuyển \(\frac{6}{49}\) sang mẫu 343:

\[
\frac{6}{49} = \frac{42}{343}
\]

Phương trình trở thành:

\[
-\frac{216}{343}x + \frac{1372}{343} = \frac{42}{343}
\]

Giải:
\[
-\frac{216}{343}x = \frac{42}{343} - \frac{1372}{343}
\]
\[
-\frac{216}{343}x = -\frac{1330}{343}
\]
\[
x = \frac{1330}{216}
\]

### D. \((\frac{2}{7})^x + 2 + (\frac{2}{3})^x + 1 = \frac{20}{27}\)

Giải phương trình:

\[
(\frac{2}{7})^x + (\frac{2}{3})^x + 3 = \frac{20}{27}
\]

Chuyển \(3\) sang mẫu \(27\):

\[
3 = \frac{81}{27}
\]

Vậy phương trình trở thành:

\[
(\frac{2}{7})^x + (\frac{2}{3})^x = \frac{20}{27} - \frac{81}{27} = -\frac{61}{27}
\]

Điều này không hợp lệ vì hai số mũ không thể âm. Do đó, không có nghiệm thực cho phương trình này.

### Kết quả:

- **A:** \( x = -\frac{5}{6} \)
- **B:** \( x = \frac{1}{3} \) hoặc \( x = 1 \)
- **C:** \( x = \frac{1330}{216} \)
- **D:** Không có nghiệm thực.