Rút gọn biểu thức: A = 2^3+2^6+2^9+..+2^96+2^99; B = 1+3+3^2+3^3+..+3^199

Để rút gọn các biểu thức \( A \), \( B \) và \( C \), ta lần lượt xử lý từng biểu thức một.

### Biểu thức A

Biểu thức \( A = 2^3 + 2^6 + 2^9 + \ldots + 2^{96} + 2^{99} \) là một cấp số nhân.

Ta có thể nhận thấy rằng số hạng đầu tiên là \( 2^3 \) và số hạng kế tiếp là \( 2^6 \), có thể viết lại như sau:

\[
A = 2^3 (1 + 2^3 + 2^6 + \ldots + 2^{96 - 3})
\]

Ta nhận thấy rằng \( 2^3 \) là số hạng đầu tiên, với công bội là \( 2^3 \), và số hạng cuối cùng là \( 2^{99-3} = 2^{96} \).

Thay \( k = 3n \) với \( n = 0, 1, 2, \ldots, 33 \), số hạng này có 34 số hạng.

Tính tóm tắt:

\[
A = 2^3 \left( \frac{1 - (2^3)^{34}}{1 - 2^3} \right) = 2^3 \left( \frac{1 - 2^{102}}{1 - 8} \right) = 2^3 \left( \frac{1 - 2^{102}}{-7} \right)
\]

Kết hợp lại:

\[
A = \frac{2^3(1 - 2^{102})}{-7} = \frac{2^3(1 - 2^{102})}{-7}
\]

### Biểu thức B

Biểu thức \( B = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{199} \) cũng là một cấp số nhân.

Ta có thể tính như sau:

Sử dụng công thức tổng của cấp số nhân:

\[
B = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{1 (1 - 3^{200})}{1 - 3} = \frac{1 - 3^{200}}{-2} = \frac{3^{200} - 1}{2}
\]

### Biểu thức C

Biểu thức \( C = 5^2 + 5^4 + 5^6 + \ldots + 5^{50} \) cũng là một cấp số nhân.

Số hạng đầu tiên là \( 5^2 \), với công bội \( 5^2 \) và số hạng cuối cùng là \( 5^{50} \).

Tương tự, ta nhận thấy rằng \( C \) có:

\[
C = 5^2(1 + 5^2 + 5^4 + \ldots + 5^{48})
\]

Số hạng của cấp số nhân này:

\[
C = 5^2 \left( \frac{1 - (5^2)^{25}}{1 - 5^2} \right) = 5^2 \left( \frac{1 - 5^{50}}{1 - 25} \right) = 5^2 \left( \frac{1 - 5^{50}}{-24} \right)
\]

Kết hợp lại:

\[
C = \frac{5^2(1 - 5^{50})}{-24}
\]

### Kết luận

Cuối cùng, ta có các biểu thức rút gọn như sau:

- \( A = \frac{2^3(1 - 2^{102})}{-7} \)
- \( B = \frac{3^{200} - 1}{2} \)
- \( C = \frac{5^2(1 - 5^{50})}{-24} \)

Nếu cần làm rõ từng bước hoặc có phần nào chưa rõ, bạn có thể hỏi thêm!