Để giải bài toán, ta sẽ tìm số học sinh khối 6 của trường và số học sinh lớp 6C dựa vào các điều kiện cho trước.

### Bài 1: Số học sinh khối 6 của trường

Gọi số học sinh khối 6 là \( N \). Theo đề bài, \( N \) nằm trong khoảng từ 200 đến 250, và \( N \) phải chia hết cho 10 và 12.

- **Tìm bội số chung nhỏ nhất (BCNN) của 10 và 12**:
- \( 10 = 2 \times 5 \)
- \( 12 = 2^2 \times 3 \)

BCNN = \( 2^2 \times 3 \times 5 = 60 \).

Nghĩa là, số học sinh \( N \) phải là bội số của 60 trong khoảng từ 200 đến 250.

- **Tìm bội số của 60 trong khoảng 200 đến 250**:
- 60 × 4 = 240 (trong khoảng)
- 60 × 5 = 300 (ngoài khoảng)

Chỉ có \( N = 240 \) là số học sinh khối 6 thỏa mãn.

### Kết luận bài 1:
Số học sinh khối 6 của trường đó là \( \boxed{240} \).

---

### Bài 2: Số học sinh lớp 6C

Gọi số học sinh lớp 6C là \( M \). Theo đề bài, \( M \) nằm trong khoảng từ 44 đến 50, và \( M \) phải chia hết cho 4 và 3.

- **Tìm bội số chung nhỏ nhất (BCNN) của 4 và 3**:
- BCNN = 12.

Nghĩa là, số học sinh \( M \) phải là bội số của 12 trong khoảng từ 44 đến 50.

- **Kiểm tra các số trong khoảng 44 đến 50**:
- 44: không chia hết cho 12.
- 45: không chia hết cho 12.
- 46: không chia hết cho 12.
- 47: không chia hết cho 12.
- 48: là 12 × 4 (chia hết cho 12).
- 49: không chia hết cho 12.
- 50: không chia hết cho 12.

Chỉ có \( M = 48 \) thỏa mãn.

### Kết luận bài 2:
Số học sinh lớp 6C là \( \boxed{48} \).