So sánh (2 mũ 102 -1) phần 7 và 5 nhân 2 mũ 97

Để so sánh \((2^{102} - 1) \mod 7\) và \(5 \cdot 2^{97}\), ta sẽ tìm từng giá trị một.

**Bước 1: Tính \((2^{102} - 1) \mod 7\)**

Đầu tiên, tính \(2^{102} \mod 7\) trước. Ta sẽ sử dụng định lý nhỏ Fermat, trong đó nói rằng nếu \(p\) là một số nguyên tố, thì \(a^{p-1} \equiv 1 \mod p\) với \(a\) không chia hết cho \(p\).

Ở đây \(p=7\) và \(a=2\), vì vậy:

\[
2^{6} \equiv 1 \mod 7
\]

Vậy chúng ta cần tính \(102 \mod 6\):

\[
102 \div 6 = 17 \quad \text{và dư} \quad 0
\]
Điều này có nghĩa là:

\[
102 \mod 6 = 0
\]

Do đó:

\[
2^{102} \equiv (2^{6})^{17} \equiv 1^{17} \equiv 1 \mod 7
\]

Vậy:

\[
2^{102} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 7
\]

**Bước 2: Tính \(5 \cdot 2^{97}\)**

Bây giờ, chúng ta cần tính \(5 \cdot 2^{97} \mod 7\). Trước hết, tính \(2^{97} \mod 7\). Tương tự như trước, \(97 \mod 6\):

\[
97 \div 6 = 16 \quad \text{và dư} \quad 1
\]
Do đó:

\[
97 \mod 6 = 1
\]

Vậy:

\[
2^{97} \equiv 2^{1} \equiv 2 \mod 7
\]

Như vậy:

\[
5 \cdot 2^{97} \equiv 5 \cdot 2 \equiv 10 \mod 7
\]

Tính \((10 \mod 7)\):

\[
10 \mod 7 = 3
\]

**Bước 3: So sánh**

Chúng ta đã tính:

\[
(2^{102} - 1) \mod 7 \equiv 0
\]

và

\[
5 \cdot 2^{97} \mod 7 \equiv 3
\]

Vậy:

\[
0 < 3
\]

Do đó, kết luận là:

\[
(2^{102} - 1) \mod 7 < 5 \cdot 2^{97}
\]