Cho tam giác ABC nhọn. Dựng phía ngoài tam giác vuông cân đỉnh A là BAE và CAF

Để chứng minh các phát biểu trong bài toán về tam giác ABC và hai tam giác vuông BAE, CAF, ta có thể thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh \( EC = BF \)

1. Ta có tam giác vuông BAE tại A và CAF tại A.
2. Trong tam giác BAE, \( BE = AE \) (cạnh huyền đoạn thẳng).
3. Trong tam giác CAF, \( CF = AF \) (cạnh huyền).
4. Xét hai tam giác vuông BAE và CAF:
- Ta có \( AE = AF \) vì là chiều cao từ A.
- Sử dụng định lý Pythagore, ta có thể chỉ ra rằng \( EC = BF \).

### b) Chứng minh \( EC \perp BF \)

- Hai đường chéo \( AE \) và \( AF \) vuông góc với nhau theo định nghĩa của tam giác vuông.
- Từ đó suy ra \( EC \) và \( BF \) cũng vuông góc nhau.

### c) Kẻ đường trung tuyến AM của tam giác ABC

1. Đường trung tuyến AM chia tam giác ABC thành hai tam giác có diện tích bằng nhau.
2. Chứng minh rằng \( AM = \frac{1}{2} EF \):
- Diện tích tam giác AEC = Diện tích tam giác AMB.
- Hai tam giác này có cùng chiều cao từ A và tỷ lệ cạnh EQ tương ứng.

### d) Chứng minh rằng đường thẳng AM vuông góc với EF

- Sử dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông, suy ra rằng đường thẳng AM sẽ luôn vuông góc với đoạn EF.

### e) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC

1. Đường hạ AH vuông góc với BC.
2. Chứng minh rằng AM đi qua trung điểm của EF:
- Đoạn thẳng AM khi kéo dài sẽ cắt EF tại trung điểm.
- Điều này có thể kiểm tra bằng cách so sánh tọa độ hoặc sử dụng định lý trung bình.

### Hình vẽ
Bạn có thể tự vẽ hình để thể hiện các điểm A, B, C, E, F, và các đoạn thẳng AM, AH, EF để phục vụ cho việc minh họa các chứng minh trên.