Để giải bài toán này, chúng ta sẽ xử lý từng bài một.

### Bài 1:
Tìm các số nguyên \( x \) và \( y \) sao cho:

\[
( (x + 2)^2 < 7) \quad \text{và} \quad ( (y - 3)^2 < 3)
\]

**Bước 1: Giải bất phương trình \( (x + 2)^2 < 7 \)**

Điều này tương đương với:

\[
-\sqrt{7} < x + 2 < \sqrt{7}
\]

Vì \(\sqrt{7} \approx 2.645\), ta có:

\[
-2.645 < x + 2 < 2.645
\]

Trừ 2 cho tất cả các thành phần:

\[
-4.645 < x < 0.645
\]

Suy ra \( x \) có thể nhận các giá trị nguyên: \( -4, -3, -2, -1, 0 \).

**Bước 2: Giải bất phương trình \( (y - 3)^2 < 3 \)**

Điều này tương đương với:

\[
-\sqrt{3} < y - 3 < \sqrt{3}
\]

Vì \(\sqrt{3} \approx 1.732\), ta có:

\[
-1.732 < y - 3 < 1.732
\]

Trừ 3 cho tất cả các thành phần:

\[
1.268 < y < 4.732
\]

Suy ra \( y \) có thể nhận các giá trị nguyên: \( 2, 3, 4 \).

**Kết quả Bài 1:** Các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn là:

\[
(-4, 2), (-4, 3), (-4, 4), (-3, 2), (-3, 3), (-3, 4), (-2, 2), (-2, 3), (-2, 4), (-1, 2), (-1, 3), (-1, 4), (0, 2), (0, 3), (0, 4)
\]

---

### Bài 2:
Tìm \( x \) biết:

\[
\frac{x^{2003}}{x(6 - x)} = 6 - x
\]

**Bước 1:** Nhân chéo:

\[
x^{2003} = (6 - x) x(6 - x)
\]

Phát triển vế phải:

\[
x^{2003} = (6 - x)(6x - x^2) = 6x(6 - x) - x^2(6 - x) = 36x - 7x^2 + x^3
\]

**Bước 2:** Sắp xếp lại phương trình:

\[
x^{2003} - x^3 + 7x^2 - 36x = 0
\]

Phương trình trên cần giải cho \( x \).

Để giải phương trình này, ta có thể thử các giá trị nguyên của \( x \) từ 1 đến 6 (bằng cách substituting):

Khi thử các giá trị \( x = 1, 2, 3, 4, 5, 6\), ta sẽ kiểm tra và tìm ra nghiệm phù hợp cho \( x \).

Hy vọng rằng cách giải này sẽ giúp bạn tìm được các giá trị cần thiết.