Để giải bài toán, trước hết ta cần tìm số mol CO2 có trong 4,48 lít khí ở điều kiện tiêu chuẩn (đktc).

1. **Tính số mol CO2**:
\[
V = 4,48 \text{ lít} = 4,48 \text{ mol}
\]
Sử dụng công thức:
\[
n = \frac{V}{22,4 \text{ lít/mol}} = \frac{4,48}{22,4} = 0,2 \text{ mol}
\]

2. **Phản ứng với K2CO3 và KOH**:
- K2CO3 sẽ phản ứng với CO2:
\[
K2CO3 + CO2 + H2O \rightarrow 2 KHCO3
\]
Số mol K2CO3 cần ít nhất 0,2 mol CO2.
- KOH sẽ phản ứng với CO2 theo phương trình:
\[
2 KOH + CO2 \rightarrow K2CO3 + H2O
\]
Số mol KOH phản ứng với 0,2 mol CO2 sẽ là 0,4 mol.

3. **Lập phương trình về tổng số mol các chất có trong dung dịch**:
Giả sử nồng độ của K2CO3 trong dung dịch là x M, thì số mol K2CO3 trong 100 ml (0,1 lít) là:
\[
n_{K2CO3} = x \times 0,1 = 0,1x \text{ mol}
\]
Ta có 0,1x mol K2CO3 trong dung dịch và 0,5 M KOH trong 100 ml là 0,05 mol.
\[
n_{KOH} = 0,5 \times 0,1 = 0,05 \text{ mol}
\]

4. **Tính tổng số CO2 sẽ bị hấp thụ**:
\[
0,1x + 0,05 \geq 0,2 \text{ mol}
\]

Giải bất phương trình trên:
\[
0,1x + 0,05 = 0,2 \Rightarrow 0,1x = 0,15 \Rightarrow x = 1,5 \text{ M}
\]

5. **Kết tủa với BaCl2**:
Dung dịch Y sẽ chứa muối BaCO3, mà lượng BaCO3 kết tủa là 19,7 g. Tính số mol BaCO3:
\[
M_{BaCO3} = 197 \text{ g/mol}
\]
Tính số mol:
\[
n_{BaCO3} = \frac{19,7}{197} = 0,1 \text{ mol}
\]

Do đó, để có 0,1 mol BaCO3, cần:
\[
n_{CO3^{2-}} = n_{BaCO3} = 0,1 \text{ mol}
\]

6. **Tính toán lại lượng CO2 để có số mol CO3^{2-}**:
Từ x = 1,5 M, ta có:
\[
n_{K2CO3} = 0,1 \cdot 1,5 = 0,15 \text{ mol}
\]
Khi đã tạo ra 0,1 mol BaCO3 thì còn lại:
\[
n_{CO2} = 0,2 - 0,15 = 0,05 \text{ mol}
\]
Phản ứng xảy ra lại nếu nung nóng, tiếp tục tạo thêm kết tủa.

Do đó, giá trị của x là **1,5 M, đáp án B**.