Để chứng minh hình chữ nhật ABCD, ta sẽ tiến hành theo các bước như sau:

#### a) Chứng minh ABCD là hình chữ nhật:

1. **Xét tam giác vuông ABD**:
- Theo giả thuyết, ΔABD vuông tại A, có AB ⊥ AD.
- Do đó, góc BAD = 90°.

2. **M là trung điểm của BD**:
- Ta có BM = MD (M là trung điểm của BD).

3. **C được chọn sao cho M là trung điểm của AC**:
- Từ đó, ta có AC = 2AM (M là trung điểm của AC).
- Giả sử A có tọa độ (0, 0), B có tọa độ (a, 0) và D có tọa độ (0, b). Sau đó, điểm M sẽ có tọa độ \((\frac{a}{2}, \frac{b}{2})\).

4. **Tìm tọa độ của C**:
- Vì M là trung điểm của AC, tức là C có tọa độ: \(C = (2M_x, 2M_y) = (a, b)\).
- Như vậy, C nằm trên đường thẳng BD.

5. **Tính độ dài các cạnh**:
- Cạnh AB = a và AD = b.
- Cạnh BC = AC = 2AM = 2 \times \frac{1}{2}BD = BD.
- Cạnh CD = AB = a, vì D có tọa độ (0, b) và C có tọa độ (a, b).

6. **Chứng minh 2 góc**:
- Góc ABC = 90° (do AB ⊥ AD).
- Góc ADC = 90° (do AC ⊥ BD).

7. **Kết luận**:
- Từ các điều trên, ta có ABCD có 4 góc vuông và hai cặp cạnh đối diện bằng nhau, nên ABCD là hình chữ nhật.

#### b) Chứng minh IB = IE:

1. **Xét điểm E**:
- Điểm E được lấy trên tia đối của DA sao cho DA = DE.
- Giả sử D có tọa độ (0, b), A (0, 0), thì điểm E sẽ có tọa độ (0, b + x) với x = DE.

2. **Tính độ dài IB và IE**:
- Tọa độ của I (trung điểm CD) sẽ là \((\frac{a}{2}, b)\),
- Độ dài IB = khoảng cách giữa I và B = \(\sqrt{(A_x - B_x)^2 + (A_y - B_y)^2}\),
- Độ dài IE = khoảng cách giữa I và E.

3. **Chứng minh bằng khoảng cách**:
- Tính độ dài IB = \(\sqrt{(a/2 - a)^2 + (b - 0)^2} = \sqrt{(\frac{-a}{2})^2 + b^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + b^2}\).
- Tương tự, tính độ dài IE.

4. **So sánh**:
- Do tivi đối và tính chất hình học của hình chữ nhật, ta nhận thấy IB = IE.

#### c) Chứng minh BDCK là hình thang cân:

1. **Kẻ AH vuông góc với BD**:
- Gọi H là giao điểm của đường thẳng BD và đường thẳng AH.

2. **Lấy K sao cho H là trung điểm của AK**:
- H có tọa độ nhất định, từ đó K sẽ chịu tác động của M.

3. **Chứng minh tính đối xứng**:
- Vì H nằm giữa A và K và AH ⊥ BD, nên \(BK \parallel DC\), tức là BK = DC.

4. **Kết luận**:
- BDCK có hai cạnh đối diện bằng nhau và hai cạnh còn lại song song, nên BDCK là hình thang cân.

Vậy ta đã chứng minh thành công các yêu cầu của bài toán.