Đáp án “16”

Phương pháp giải

- Trong mặt phẳng (HBD), từ H kẻ HK ⊥ BD tại K. ( K là trung điểm của cạnh DO )

Trong mặt phẳng (SHK), từ H kẻ HI ⊥ SK tại I.

- Chứng minh HI ⊥ (SBD).

- Xét tam giác SHK vuông tại H, tính góc.

Ta có: \(SA \cap (SBC) = \{ S\} \).

Trong mặt phẳng \((HBD)\), từ \(H\) kẻ \(HK \bot BD\) tại \(K\). (\(K\) là trung điểm của cạnh \(DO)\) Trong mặt phẳng \((SHK)\), từ \(H\) kẻ \(HI \bot SK\) tại \(I\).

Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BD \bot HK}\\{BD \bot SH}\end{array} \Rightarrow BD \bot (SHK) \Rightarrow BD \bot HI} \right.\). Mà

\(HI \bot SK\) nên \(HI \bot (SBD)\).

Hay SI là hình chiếu vuông góc của SH lên mặt phẳng \((SBD)\).

Suy ra \((SH,(SBD)) = (SH,SI) = \widehat {ISH} = \widehat {KSH}\).

Xét tam giác SHK vuông tại \(H\), ta có:

\(\tan \widehat {KSH} = \frac = \frac{{\frac{a}{2}}}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{6} \Rightarrow \widehat {KSH} = \arctan \frac{{\sqrt 3 }}{6}\)

Vậy \((SH,(SBD)) = \arctan \frac{{\sqrt 3 }}{6}\).