Để chứng minh hai tính chất \( a) \, Gy \parallel Dx \) và \( b) \, Dx \parallel EF \) trong tam giác \( DEF \) với các điều kiện đã cho, chúng ta cần phân tích một số yếu tố liên quan đến các góc và tính chất của các đường thẳng.

### Bước 1: Phân tích hình học

1. **Góc trong tam giác \( DEF \)**:
- Góc \( D = 60^\circ \)
- Góc \( E = 60^\circ \)
- Do đó, góc \( F = 180^\circ - (D + E) = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ \).

Tam giác \( DEF \) là tam giác đều với tất cả các góc đều bằng \( 60^\circ \).

2. **Xác định điểm G và các góc**:
- \( G \) nằm trên tia đối của \( DE \), tức là \( DE \) được mở rộng về phía bên ngoài.
- Vẽ \( \angle EGy \) so le trong với \( \angle DEF \) với \( EGy = 60^\circ \).
- Do đó, \( \angle DGF = 60^\circ \) (bởi vì hai góc so le là bằng nhau).

3. **Tia phân giác \( Dx \)**:
- Tia \( Dx \) là tia phân giác của \( \angle GDF \).
- Vì \( \angle GDF = 60^\circ \), nên \( \angle GDx = \angle FDx = 30^\circ \).

### Bước 2: Chứng minh \( Gy \parallel Dx \)

1. **Góc tương ứng**:
- Trong tam giác \( GDF \), ta đã có \( \angle GDF = 60^\circ \), và với \( \angle EGy = 60^\circ \) (là góc ngoài tại điểm G tương ứng với các góc trong \( GDF \)), ta nhận thấy:
- \( \angle EGy = \angle GDF \).

2. **Góc đồng vị**:
- Hơn nữa, \( \angle GDF = 30^\circ \) và \( \angle GyF = 30^\circ \) (góc đồng vị).
- Vậy từ đó, ta có \( Gy \parallel Dx \) (bởi vì hai góc đồng vị bằng nhau).

### Bước 3: Chứng minh \( Dx \parallel EF \)

1. **Tia phân giác và tính chất song song**:
- Đã chứng minh được \( Dx \) là tia phân giác của góc \( GDF = 60^\circ \).
- Tương tự, \( EF \) là cạnh đối diện góc E, tức là cùng bố trí theo chiều \(\parallel\) với hình vẽ ban đầu.

2. **Góc tương ứng**:
- \( \angle FDE = 60^\circ \) và \( \angle GDF = 60^\circ \).
- Điều này dẫn đến việc \( Dx \parallel EF \).

### Kết luận

Từ những phân tích trên, ta đã chứng minh được:

a) \( Gy \parallel Dx \)
b) \( Dx \parallel EF \)

Theo lý luận về các góc và tính chất song song, những kết luận trên là chính xác trong trường hợp này.