Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( A = \frac{5}{\sqrt{3|2x - 1| + 1}} \).Tìm \( x \) là số nguyên thỏa mãn \( (|x - 3| + 1)^2 + (x^2 - 9)^2 \leq 4 \)

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( A = \frac{5}{\sqrt{3|2x - 1| + 1}} \):

### a) Tìm giá trị lớn nhất của \( A \)
Để tối đa hóa \( A \), ta cần tối thiểu hóa mẫu số \( \sqrt{3|2x - 1| + 1} \).

1. Xét biểu thức bên trong căn: \( 3|2x - 1| + 1 \).
2. Để biểu thức này nhỏ nhất, ta cần \( |2x - 1| \) nhỏ nhất.

Ta có hai trường hợp:
- Khi \( 2x - 1 \geq 0 \rightarrow 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \)
- Khi \( 2x - 1 < 0 \rightarrow 1 - 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \)

Trong cả hai trường hợp, giá trị nhỏ nhất của \( |2x - 1| = 0 \) khi \( x = \frac{1}{2} \).

Giá trị \( 3|2x - 1| + 1 = 1 \).

Khi đó:
\[
A = \frac{5}{\sqrt{1}} = 5.
\]
**Vậy giá trị lớn nhất của \( A \) là \( 5 \).**

### b) Tìm \( x \) là số nguyên thỏa mãn
Phương trình đã cho là:
\[
(|x - 3| + 1)^2 + (x^2 - 9)^2 \leq 4.
\]

Đặt:
- \( |x - 3| + 1 = a \)
- \( (x^2 - 9) = b \)

Ta có:
\[
a^2 + b^2 \leq 4.
\]

**1. Giải phương trình \( |x - 3| + 1 \leq 2 \):**
- \( |x - 3| \leq 1 \Rightarrow 3 - 1 \leq x \leq 3 + 1 \Rightarrow 2 \leq x \leq 4 \)

**2. Giải phương trình \( |x^2 - 9| \leq 2 \):**
- \( -2 \leq x^2 - 9 \leq 2 \Rightarrow 7 \leq x^2 \leq 11 \)
- \( \sqrt{7} \leq |x| \leq \sqrt{11} \)

Tính giá trị cụ thể:
- \( |x| \) có các giá trị trong khoảng này:
- \( -\sqrt{11} \leq x \leq -\sqrt{7} \) hoặc \( \sqrt{7} \leq x \leq \sqrt{11} \)

**3. Đối với số nguyên:**
- Các số nguyên trong khoảng \( 2 \leq x \leq 4 \) là: \( 2, 3, 4 \).
- \( \sqrt{7} \) và \( \sqrt{11} \) đều xấp xỉ 2.645 và 3.317.

Kết hợp lại, ta có:
- Số nguyên thỏa mãn trong \( [2, 4] \) là: **2, 3, 4**.

### Kết quả:
- **Giá trị lớn nhất của A là: \( 5 \)**
- **Các số nguyên thỏa mãn là: \( 2, 3, 4 \)**.