Để chứng minh rằng với điểm \( M \) bất kỳ, ta có

\[
\overrightarrow{MO} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}),
\]

ta bắt đầu bằng việc thể hiện các vectơ liên quan đến điểm \( M \) và tâm \( O \) của hình bình hành \( ABCD \).

Gọi các vectơ \( \overrightarrow{A}, \overrightarrow{B}, \overrightarrow{C}, \overrightarrow{D} \) lần lượt là tọa độ của các đỉnh của hình bình hành. Tọa độ của tâm \( O \) được tính như sau:

\[
\overrightarrow{O} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}).
\]

Bây giờ, ta sẽ tính các vectơ \( \overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}, \overrightarrow{MC}, \overrightarrow{MD} \):

\[
\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{M},
\]
\[
\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{M},
\]
\[
\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{M},
\]
\[
\overrightarrow{MD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{M}.
\]

Khi cộng các vectơ này lại với nhau, ta có:

\[
\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}) - 4\overrightarrow{M}.
\]

Thay giá trị \( \overrightarrow{O} \) vào biểu thức trên, ta có:

\[
\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = 4\overrightarrow{O} - 4\overrightarrow{M}.
\]

Từ đó ta có thể tính \( \overrightarrow{MO} \):

\[
\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{O} - \overrightarrow{M} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}) - \overrightarrow{M}.
\]

Chia cả hai vế cho 4, chúng ta được:

\[
\overrightarrow{MO} = \frac{1}{4}((\overrightarrow{A} - \overrightarrow{M}) + (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{M}) + (\overrightarrow{C} - \overrightarrow{M}) + (\overrightarrow{D} - \overrightarrow{M})) = \frac{1}{4}(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}).
\]

Vậy chứng minh hoàn tất:

\[
\overrightarrow{MO} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}).
\]