Để \( OA + OB \) có giá trị là đường phân giác của góc \( AOB \), ta cần sử dụng định lý liên quan đến đường phân giác trong tam giác.

**Điều kiện cần và đủ:**
Giả sử \( OA = r_1 \) và \( OB = r_2 \). Để \( OA + OB \) là đường phân giác, cần có điều kiện:

\[
\frac{OA}{OB} = \frac{AO}{BO} \quad \text{(1)}
\]

Theo định lý đường phân giác, thì hai đoạn thẳng đó phải tỉ lệ với hai cạnh kề với nhau, tức là:

\[
\frac{r_1}{r_2} = \frac{OA}{OB}
\]

Khi đó, tỉ lệ này cũng có thể biểu thị như:

\[
OA \cdot \sin \angle AOB = OB \cdot \sin \angle OAB
\]

**Kết luận:**
Điều kiện cần và đủ để \( OA + OB \) là đường phân giác của góc \( AOB \) là:

\[
\frac{OA}{OB} = \frac{OA \cdot \sin(OB)}{OB \cdot \sin(OA)}
\]

Tức là, tỉ lệ giữa các đoạn thẳng được định nghĩa bởi đường phân giác phải thỏa mãn.