Để khai triển căn thức \(\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}\), bạn có thể tìm cách biểu diễn nó dưới dạng \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\).

Giả sử:

\[
\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}
\]

Bình phương cả hai bên, ta có:

\[
9 + 4\sqrt{5} = a + b + 2\sqrt{ab}
\]

Từ đây, ta có hai phương trình:

1. \(a + b = 9\)
2. \(2\sqrt{ab} = 4\sqrt{5} \Rightarrow \sqrt{ab} = 2\sqrt{5} \Rightarrow ab = 20\)

Giải hệ phương trình này:

- Từ phương trình 1: \(b = 9 - a\)
- Thay vào phương trình 2:

\[
a(9 - a) = 20
\]

Hệ này trở thành phương trình bậc hai:

\[
-a^2 + 9a - 20 = 0 \implies a^2 - 9a + 20 = 0
\]

Giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức nghiệm:

\[
a = \frac{9 \pm \sqrt{(9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2} = \frac{9 \pm 1}{2}
\]

Ta có hai nghiệm:

\[
a_1 = 5 \quad \text{và} \quad a_2 = 4
\]

Do đó, \(b = 9 - a\) sẽ cho ta \(b_1 = 4\) và \(b_2 = 5\).

Vậy \(a = 5\) và \(b = 4\) hoặc ngược lại.

Cuối cùng, ta có:

\[
\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = \sqrt{5} + 2
\]

Do đó, kết quả là:

\[
\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = \sqrt{5} + 2
\]