### Bài 1:

Để tìm số \( x \) thỏa mãn các điều kiện:
- \( x \equiv 3 \mod 7 \)
- \( x \equiv 2 \mod 17 \)
- \( x \equiv 7 \mod 23 \)

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đồng dư.

1. **Từ điều kiện đầu tiên \( x \equiv 3 \mod 7 \)**, ta có thể viết:
\[
x = 7k + 3 \quad \text{(với \( k \) là một số nguyên)}
\]

2. Thuật toán tiếp theo là thay thế \( x \) trong điều kiện thứ hai:
\[
7k + 3 \equiv 2 \mod 17
\]
\[
7k \equiv 2 - 3 \mod 17
\]
\[
7k \equiv -1 \mod 17
\]
\[
7k \equiv 16 \mod 17
\]
Để giải phương trình này, ta cần tìm nghịch đảo của 7 modulo 17. Ta áp dụng thuật toán Euclid mở rộng:
\[
17 = 2 \times 7 + 3 \\
7 = 2 \times 3 + 1 \\
3 = 3 \times 1 + 0 \\
\text{Do đó, } 1 = 7 - 2 \times (17 - 2 \times 7) = 5 \times 7 - 2 \times 17
\]
Suy ra nghịch đảo của 7 modulo 17 là 5.

Nhân cả hai vế phương trình \( 7k \equiv 16 \mod 17 \) với 5:
\[
k \equiv 5 \times 16 \mod 17
\]
\[
k \equiv 80 \mod 17
\]
Tính \( 80 \mod 17 \):
\[
80 = 4 \times 17 + 12 \quad \Rightarrow \quad k \equiv 12 \mod 17.
\]
Vậy chúng ta có:
\[
k = 17m + 12 \quad \text{(với \( m \) là một số nguyên)}.
\]
Thay trở lại vào công thức cho \( x \):
\[
x = 7(17m + 12) + 3 = 119m + 87.
\]

3. Bây giờ, ta xét điều kiện thứ ba:
\[
119m + 87 \equiv 7 \mod 23.
\]
Tính \( 119 \mod 23 \):
\[
119 = 5 \times 23 + 4 \quad \Rightarrow \quad 119 \equiv 4 \mod 23.
\]
Vậy phương trình trở thành:
\[
4m + 87 \equiv 7 \mod 23 \quad \Rightarrow \quad 4m \equiv 7 - 87 \mod 23.
\]
Tính \( 87 \mod 23 \):
\[
87 = 3 \times 23 + 18 \quad \Rightarrow \quad 87 \equiv 18 \mod 23.
\]
Vậy phương trình trở thành:
\[
4m \equiv 7 - 18 \mod 23 \quad \Rightarrow \quad 4m \equiv -11 \mod 23 \quad \Rightarrow \quad 4m \equiv 12 \mod 23.
\]
Tìm nghịch đảo của 4 modulo 23. Ta cũng thực hiện thuật toán Euclid:
\[
23 = 5 \times 4 + 3 \\
4 = 1 \times 3 + 1\\
3 = 3 \times 1 + 0\\
\text{Từ đó, } 1 = 4 - 1 \times (23 - 5 \times 4) = 6 \times 4 - 1 \times 23.
\]
Vậy nghịch đảo là 6. Nhân cả hai vế với 6:
\[
m \equiv 6 \times 12 \mod 23.
\]
\[
m \equiv 72 \mod 23 \quad \text{(tính \( 72 \mod 23 \))}.
\]
Để tính:
\[
72 = 3 \times 23 + 3 \quad \Rightarrow \quad m \equiv 3 \mod 23.
\]
Giá trị của \( m \) có thể biểu diễn là:
\[
m = 23n + 3.
\]
Thay vào công thức cho \( x \):
\[
x = 119(23n + 3) + 87 = 2737n + 357 + 87 = 2737n + 444.
\]

Vậy:
\[
x \equiv 444 \mod 2737.
\]
Cuối cùng ta chỉ cần tính \( 444 \mod 2737 \) và thấy rằng \( 444 < 2737 \), do đó:
\[
\text{Số cần tìm là } 444.
\]

### Bài 2:

Để chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên \( a \) và \( b \) chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9, ta xét \( a \) và \( b \) chia cho 3:

1. **Trường hợp 1**:
- Nếu \( a \equiv 0 \mod 3 \) và \( b \equiv 0 \mod 3 \):
\[
a+b \equiv 0 + 0 \equiv 0 \mod 3.
\]
\[
a^3 + b^3 \equiv 0^3 + 0^3 \equiv 0 \mod 9.
\]

2. **Trường hợp 2**:
- Nếu \( a \equiv 1 \mod 3 \) và \( b \equiv 2 \mod 3 \):
\[
a+b \equiv 1 + 2 \equiv 0 \mod 3.
\]
\[
a^3 \equiv 1^3 \equiv 1 \mod 9, \quad b^3 \equiv 2^3 \equiv 8 \mod 9.
\]
\[
a^3 + b^3 \equiv 1 + 8 \equiv 9 \equiv 0 \mod 9.
\]

3. **Trường hợp 3**:
- Nếu \( a \equiv 2 \mod 3 \) và \( b \equiv 1 \mod 3 \):
Tương tự như trường hợp 2, ta sẽ có:
\[
a+b \equiv 2 + 1 \equiv 0 \mod 3.
\]
\[
a^3 \equiv 2^3 \equiv 8 \mod 9, \quad b^3 \equiv 1^3 \equiv 1 \mod 9.
\]
\[
a^3 + b^3 \equiv 8 + 1 \equiv 9 \equiv 0 \mod 9.
\]

Từ ba trường hợp trên, ta có thể kết luận rằng nếu \( a+b \equiv 0 \mod 3 \), thì \( a^3+b^3 \equiv 0 \mod 9 \).

Vậy chứng minh hoàn tất.