Cho ΔDEF vuông tại D có DE > DF. DM là đường trung tuyến. Gọi MN là đường vuông góc kề từ M đến DE, MK là đường vuông góc kề từ M đến DF. Trên tia MN lấy H sao cho N là trung điểm của MH. Tứ giác DKMN là hình gì? Gọi O là trung điểm của DM. Chứng minh 3 điểm H, O, F thẳng hàng. ΔDEF’ cần thêm điều kiện gì để tứ giác DKMN là hình vuông

Để giải bài toán này, ta sẽ đi qua từng phần một.

### a) Tứ giác DKMN là hình gì?

Tứ giác DKMN là hình chữ nhật. Để chứng minh điều này, ta cần xác định rằng các góc tại D, K, và M là góc vuông:

- **Góc DMN** = 90° (do MN vuông góc với DE).
- **Góc DKM** = 90° (do MK vuông góc với DF).
- **Góc DMK** = 90° (DM là đường trung tuyến trong tam giác vuông tại D).

Vì vậy, tứ giác DKMN có ba góc vuông, nên DKMN là hình chữ nhật.

### b) Gọi O là trung điểm của DM. Chứng minh 3 điểm H, O, F thẳng hàng.

Để chứng minh H, O, F thẳng hàng, ta có thể sử dụng tính chất của hình chữ nhật DKMN:

- Từ định nghĩa H là trung điểm của MH, suy ra M, N, H nằm trên một đường thẳng.
- O là trung điểm của DM, tức là đoạn thẳng DO = OM.
- Do DKMN là hình chữ nhật, suy ra F nằm trên đường thẳng DF.

Ta cần chứng minh rằng H, O, F cũng nằm trên một đường thẳng.

Theo tính chất của hình chữ nhật, khoảng cách từ H đến DF phải bằng khoảng cách từ O đến DF. Do đó, H, O, F thẳng hàng (có thể sử dụng tính chất đồng quy của các đường trung tuyến).

### c) ΔDEF cần thêm điều kiện gì để tứ giác DKMN là hình vuông?

Để tứ giác DKMN là hình vuông, cần thỏa mãn thêm điều kiện là DE = DF. Khi đó, DM cũng sẽ trở thành độ dài bằng nhau:

- Nếu DE = DF, tức là tam giác DEF là tam giác vuông cân tại D, thì DKMN sẽ trở thành hình vuông do có tất cả các cạnh bằng nhau và các góc vuông.

Vậy điều kiện cần thêm là ΔDEF cần là tam giác vuông cân tại D (DE = DF).