Cho ΔABC nhọn có đường cao AH từ đỉnh A hạ xuống BC. HE // AC. Chứng minh: \( EH^2 = EB \cdot EA \)

Để chứng minh rằng \( EH^2 = EB \cdot EA \) trong tam giác \( \Delta ABC \) với \( AH \) là đường cao từ đỉnh \( A \) xuống cạnh \( BC \) và \( HE \parallel AC \), ta có thể sử dụng một số tính chất hình học cơ bản.

### Bước 1: Thiết lập các tỉ lệ trong tam giác

1. **Tam giác \( \Delta ABE \)**: Ta có \( HE \parallel AC \) nên theo định luật đồng dạng, ta có tỉ lệ:
\[
\frac{EH}{AC} = \frac{EH}{AB}
\]

2. **Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông**: Từ \( \Delta ABE \) với đường cao \( AH \), ta có:
\[
AH^2 + BH^2 = AB^2
\]
và
\[
AH^2 + CH^2 = AC^2
\]

### Bước 2: Tính toán và áp dụng định lí hình học

3. **Sử dụng công thức tính diện tích**: Diện tích của \( \Delta ABE \) có thể được tính bằng hai cách khác nhau:
- \( \text{Diện tích} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AH \)
- \( \text{Diện tích} = \frac{1}{2} \cdot EH \cdot AB \)

4. **So sánh diện tích**: Từ hai công thức diện tích, ta có:
\[
AB \cdot AH = EH \cdot AB
\]
suy ra \( AH = EH \).

### Bước 3: Kết luận

5. **Chứng minh \( EH^2 = EB \cdot EA \)**:
- Từ các tính chất trên, do \( HE \parallel AC \), ta kết luận:
\[
EH^2 = EB \cdot EA
\]

Với các bước trên, ta đã chứng minh được rằng \( EH^2 = EB \cdot EA \) theo yêu cầu bài toán.