Chứng minh rằng với mọi giá trị của x ta luôn có :

Để chứng minh các bất đẳng thức trong các mục a, b, c, d, e, f, g, h và i, chúng ta sẽ phân tích từng trường hợp.

### a. -x² - 2x - 6 < 0
Biểu thức này có thể viết lại thành:
\[
-x^2 - 2x - 6 = -(x^2 + 2x + 6)
\]
Ta nhận thấy rằng \(x^2 + 2x + 6\) luôn dương với mọi giá trị của \(x\) vì:
- Định thức của phương trình bậc hai là \(D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 4 - 24 = -20 < 0\).
Vậy, biểu thức \(x^2 + 2x + 6 > 0\) luôn đúng với mọi giá trị của \(x\). Suy ra:
\[
-x^2 - 2x - 6 < 0
\]

### b. -2x² + 4x - 15 < 0
Ta cần giải bất phương trình:
\[
-2x^2 + 4x - 15 < 0 \quad \text{hay} \quad 2x^2 - 4x + 15 > 0
\]
Tính định thức:
\[
D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 15 = 16 - 120 = -104 < 0
\]
Vậy, \(2x^2 - 4x + 15 > 0\) với mọi \(x\).

### c. -x^4 + 4x^2 - 6 < 0
Ta xét hàm số:
\[
f(x) = -x^4 + 4x^2 - 6
\]
Biến đổi:
\[
f(x) = -(x^4 - 4x^2 + 6)
\]
Tính định thức của phương trình bậc 4:
\[
D = (-4)^2 - 4 \cdot 6 = 16 - 24 = -8 < 0
\]
Do vậy, luôn có \(x^4 - 4x^2 + 6 > 0\) với mọi \(x\):
\[
-x^4 + 4x^2 - 6 < 0
\]

### d. -3/4x² - 3x² - 6 < 0
Biểu thức này có thể viết lại như sau:
\[
-3/4 x^2 - 3 x^2 = -\frac{3 + 12}{4} x^2 = -\frac{15}{4} x^2
\]
Vậy:
\[
-\frac{15}{4} x^2 - 6 < 0 \quad \text{điều này đúng với mọi } x \neq 0.
\]

### e. x² + 61 - 12 > 0
Biểu thức này có thể viết lại thành:
\[
x^2 + 49 > 0
\]
Vì \(x^2 \geq 0\) luôn, nên \(x^2 + 49\) luôn lớn hơn 0 với mọi \(x\).

### f. x^4 - 6x^2 + 10 > 0
Xét hàm:
\[
g(x) = x^4 - 6x^2 + 10
\]
Đặt \(y = x^2\), suy ra:
\[
g(y) = y^2 - 6y + 10
\]
Tính định thức:
\[
D = (-6)^2 - 4 \cdot 10 = 36 - 40 = -4 < 0
\]
Vì vậy \(g(y) > 0\) với mọi \(y \geq 0\).

### g. 3x² - 12x + 15 > 0
Tính định thức:
\[
D = (-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 15 = 144 - 180 = -36 < 0
\]
Vậy biểu thức \(3x^2 - 12x + 15 > 0\) với mọi giá trị của \(x\).

### h. x^4 + 4x² + 2 > 0
Hàm số này là tổng các biểu thức dương:
\[
x^4 + 4x^2 + 2 > 0
\]
Vì phù hợp với mọi giá trị \(x\), không có \(x\) nào làm cho biểu thức này bằng 0.

### i. 2x² + 2y² + 2xy + 2x - 4y + 19 > 0
Biểu thức này là tổng bậc 2 theo \(x\) và \(y\) cộng với một hằng số dương. Do vậy, nó lớn hơn 0 với mọi \(x, y\).

Tóm lại, tất cả các bất đẳng thức đều được chứng minh là đúng với mọi giá trị của \(x\).