Giải thích

Ta có \(\left( {2.0 - 2.2 - 1 + 1} \right)\left( {2.\frac{7}{9} - 2.\frac{2}{9} + \frac{9} + 1} \right) < 0\) nên hai điểm \(A\) và \(B\) nằm khác phía đối với \(\left( P \right)\).

* Tìm \(M\).

Lấy điểm \(B'\left( {{x_{B'}};{y_{B'}};{z_{B'}}} \right)\) đối xứng với \(B\) qua \(\left( P \right)\).

Hạ \(BH \bot \left( P \right)\) suy ra \(\overrightarrow {{u_{BH}}}  = \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {2; - 2;1} \right)\) nên phương trình đường thẳng \(BH\) là  \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{9} + 2t\\y = \frac{2}{9} - 2t\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\\z = \frac{9} + t\end{array} \right.\).

Gọi tọa độ điểm \(H\) là \(H\left( {\frac{7}{9} + 2h;\frac{2}{9} - 2h;\frac{9} + h} \right)\). Vì \(H \in \left( P \right)\) nên

\(2\left( {\frac{7}{9} + 2h} \right) - 2\left( {\frac{2}{9} - 2h} \right) + \left( {\frac{9} + h} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow h =  - \frac{4}{9}\) do đó \(H\left( {\frac{{ - 1}}{9};\frac{9};\frac{9}} \right)\).

\(B'\) đối xứng với \(B\) qua \(\left( P \right)\) nên \(H\) là trung điểm của \(BB'\).

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} + \frac{7}{9} = 2.\frac{{ - 1}}{9}\\{y_{B'}} + \frac{2}{9} = 2.\frac{9} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} =  - 1\\{y_{B'}} = 2\\{z_{B'}} = 1\end{array} \right.\\{z_{B'}} + \frac{9} = 2.\frac{9}\end{array} \right.\) suy ra \(\left. {B'( - 1;2;1} \right)\).

Khi đó \(\left| {MA - MB} \right| = \left| {MA - MB'} \right| \le AB'\).

Dấu "=" xảy ra khi \(M\) là giao điểm của đường thẳng \(AB'\) và \(\left( P \right)\).

Có \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{2}{3},d\left( {B',\left( P \right)} \right) = \frac{4}{3}\) nên \(d\left( {B',\left( P \right)} \right) = 2d\left( {A,\left( P \right)} \right)\) do đó \(A\) là trung điểm của đoạn thẳng \(B'M\) suy ra \(M\left( {1;2;1} \right)\).

* Tìm \(N\).

\(NA + NB \ge AB\)

Dấu “=" xảy ra khi \(N\) là giao điểm của đường thẳng \(AB\) và \(\left( P \right)\).

Có \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{2}{3},d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \frac{4}{3}\) nên \(d\left( {B,\left( P \right)} \right) = 2d\left( {A,\left( P \right)} \right)\) do đó \(\overrightarrow {AB}  = 3\overrightarrow {AN} \) nên \(N\left( {\frac{7};\frac;\frac} \right)\).