Đáp án

Gọi \(h,r\) lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối trụ (tính theo đơn vị \(dm\)). Khi đó ta có \(4{r^2} + {h^2} = \) (1) ____4____.

Trong các khối trụ thỏa mãn tính chất trên, biết rằng khối trụ có diện tích toàn phần lớn nhất là \(\left( {a + \sqrt b } \right)\pi {\rm{d}}{{\rm{m}}^2}\) (với \({\rm{a}},{\rm{b}}\) là hai số nguyên). Khi đó \(a + b = \) (2) ____6____.

Giải thích

Cách 1. Ta có: \({r^2} + \frac{{{h^2}}}{4} = 1 \Rightarrow 4{r^2} + {h^2} = 4\).

\({S_{tp}} = 2\pi r\left( {r + h} \right) = 2\pi \left( {{r^2} + rh} \right)\) (1).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

\(1 = \left( {\frac{{\sqrt 5  - 1}}{2}} \right){r^2} + \left( {\frac{2}{r^2} + \frac{{{h^2}}}{4}} \right) \ge \left( {\frac{{\sqrt 5  - 1}}{2}} \right){r^2} + 2\sqrt {\frac{2}{r^2}.\frac{{{h^2}}}{4}}  = \left( {\frac{{\sqrt 5  - 1}}{2}} \right)\left( {{r^2} + rh} \right)\,\,\left( 2 \right)\).

Kết hợp (1) và (2) ta suy ra \({S_{tp}} \le \pi \left( {1 + \sqrt 5 } \right)\).

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{b = 5}\end{array}} \right.\)

Cách 2. Ta có: \({r^2} + \frac{{{h^2}}}{4} = 1 \Rightarrow 4{r^2} + {h^2} = 4\).

\({S_{tp}} = 2\pi \left( {{r^2} + rh} \right) = 8\pi \left( {\frac{{{r^2} + rh}}{{4{r^2} + {h^2}}}} \right)\)

\( = 8\pi \left( {\frac{{{{\left( {\frac{r}{h}} \right)}^2} + \frac{r}{h}}}{{4{{\left( {\frac{r}{h}} \right)}^2} + 1}}} \right) = 8\pi \frac{{{t^2} + t}}{{4{t^2} + 1}}\)

Khảo sát hàm \(f\left( t \right) = \frac{{{t^2} + t}}{{4{t^2} + 1}},t > 0\) ta suy ra \({\rm{max}}{S_{tp}} = \pi \left( {1 + \sqrt 5 } \right)\).