Để tính giá trị của \( A \), ta bắt đầu với biểu thức:

\[
A = \left( \frac{1}{2^2} - 1 \right) \cdot \left( \frac{1}{3^2} - 1 \right) \cdots \left( \frac{1}{2012^2} - 1 \right)
\]

Cụ thể hơn, ta có thể viết lại mỗi phần của sản phẩm như sau:

\[
\frac{1}{n^2} - 1 = \frac{1 - n^2}{n^2} = \frac{-(n^2 - 1)}{n^2} = -\frac{(n - 1)(n + 1)}{n^2}
\]

Vậy biểu thức \( A \) trở thành:

\[
A = \prod_{n=2}^{2012} \left( -\frac{(n - 1)(n + 1)}{n^2} \right) = (-1)^{2011} \cdot \prod_{n=2}^{2012} \frac{(n - 1)(n + 1)}{n^2}
\]

Chúng ta phân tích từng phần trong tập sản phẩm:

\[
\prod_{n=2}^{2012} (n - 1) = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots \cdot 2011 = 2011!
\]

\[
\prod_{n=2}^{2012} (n + 1) = 3 \cdot 4 \cdots \cdot 2013 = \frac{2013!}{2}
\]

Cuối cùng, \( \prod_{n=2}^{2012} n^2 = (2^2 \cdot 3^2 \cdots \cdot 2012^2) = (2 \cdot 3 \cdots \cdot 2012)^2 = (2012!)^2 \).

Do đó, ta có

\[
A = (-1)^{2011} \cdot \frac{2011! \cdot \frac{2013!}{2}}{(2012!)^2}
\]

Sau khi tính toán, lưu ý rằng \( 2012! = 2012 \cdot 2011! \):

\[
A = -\frac{2011! \cdot 2013!}{2 \cdot (2012) \cdot (2011!)^2} = -\frac{2013!}{2 \cdot 2012 \cdot 2011!}
\]

Cuối cùng, thay giá trị vào để đơn giản hóa biểu thức:

\[
A = -\frac{2013}{2 \cdot 2012}
\]

Vậy giá trị của \( A \) sẽ là:

\[
A = -\frac{2013}{4024}
\]

Nên kết quả cuối cùng là:

\[
\boxed{-\frac{2013}{4024}}
\]