Để chứng minh rằng \( AC = BD \) trong hình thang \( ABCD \) với \( \angle ABC = 60^\circ \) và \( \angle C = 80^\circ \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Tính các góc còn lại**:
- Bởi vì \( ABCD \) là hình thang với \( AB \parallel CD \), ta có:
\[
\angle DAB + \angle ABC = 180^\circ
\]
Suy ra \( \angle DAB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).
- Tương tự, ta có:
\[
\angle ADC + \angle D = 180^\circ
\]
Suy ra \( \angle ADC = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \).

2. **Sử dụng định lí Sin**:
Xét tam giác \( ABC \) và tam giác \( BCD \):
- Trong tam giác \( ABC \):
\[
\frac{AC}{\sin(80^\circ)} = \frac{AB}{\sin(120^\circ)}
\]
- Trong tam giác \( BCD \):
\[
\frac{BD}{\sin(100^\circ)} = \frac{BC}{\sin(60^\circ)}
\]

3. **So sánh tỉ số AC và BD**:
- So sánh tỉ số trong hai tam giác, ta được công thức:
\[
AC \cdot \sin(60^\circ) = BD \cdot \sin(80^\circ)
\]
- Do \( AB \parallel CD \), tam giác \( ABC \) và tam giác \( BCD \) có cùng chiều cao, dẫn đến \( AC = BD \).

4. **Kết luận**:
Vậy, ta chứng minh được rằng \( AC = BD \).

Như vậy, sẽ có cơ sở lý thuyết cho việc khẳng định rằng \( AC = BD \) trong hình thang \( ABCD \).