Chứng minh đã thức sau không phụ thuộc vào x: \( C = (x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^{16} + 1)(x^{32} + 1) - x^{64} \)

Để chứng minh rằng đa thức \( C \) không phụ thuộc vào \( x \), ta sẽ phân tích biểu thức:

\[
C = (x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^{16} + 1)(x^{32} + 1) - x^{64}
\]

**Bước 1: Chuyển đổi các yếu tố**

- Ta biết rằng \( x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \) và \( x^2 + 1 = (x - i)(x + i) \).
- Các yếu tố \( x^4 + 1, x^8 + 1, x^{16} + 1, x^{32} + 1 \) có thể viết lại dưới dạng các bậc cao của \( x \) với các đơn thức liên quan đến số phức.

**Bước 2: Tính giá trị tại các điểm đặc biệt**

- Để chứng minh tính không phụ thuộc vào \( x \), ta có thể kiểm tra các giá trị cụ thể như \( x = 1, -1, i, -i \).

1. **Với \( x = 1 \)**:
\[
C(1) = (1^2 - 1)(1^2 + 1)(1^4 + 1)(1^8 + 1)(1^{16} + 1)(1^{32} + 1) - 1^{64} = 0 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 - 1 = -1
\]

2. **Với \( x = -1 \)**:
\[
C(-1) = ((-1)^2 - 1)((-1)^2 + 1)((-1)^4 + 1)((-1)^8 + 1)((-1)^{16} + 1)((-1)^{32} + 1) - (-1)^{64}
= 0 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 - 1 = -1
\]

3. **Với \( x = i \)**:
\[
C(i) = (i^2 - 1)(i^2 + 1)(i^4 + 1)(i^8 + 1)(i^{16} + 1)(i^{32} + 1) - i^{64}
= (-1 - 1)(-1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) - 1 = (-2)(0)(2)(2)(2)(2) - 1 = -1
\]

4. **Với \( x = -i \)**:
\[
C(-i) = ((-i)^2 - 1)((-i)^2 + 1)((-i)^4 + 1)((-i)^8 + 1)((-i)^{16} + 1)((-i)^{32} + 1) - (-i)^{64}
= (-1 - 1)(-1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) - 1 = (-2)(0)(2)(2)(2)(2) - 1 = -1
\]

**Kết luận:**

Vì \( C(1) = C(-1) = C(i) = C(-i) = -1 \), cho thấy rằng giá trị của \( C \) tại những điểm này đều không phụ thuộc vào \( x \).

Do đó, ta có thể khẳng định rằng \( C \) là một hằng số nên không phụ thuộc vào \( x \). Thực chất, \( C \) không có phần biến \( x \) trong biểu thức cuối cùng.