Cho a, b, c thỏa mãn: a + b + c + ab + bc + ca = 6. Chứng minh rằng: a² + b² + c² ≥ 3

Để chứng minh rằng \( a^2 + b^2 + c^2 \geq 3 \) từ điều kiện \( a + b + c + ab + bc + ca = 6 \), ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwartz.

Ta bắt đầu bằng cách tái cấu trúc điều kiện đã cho:

\[
ab + ac + bc = 6 - (a + b + c).
\]

Gọi \( s = a + b + c \). Khi đó, ta có:

\[
ab + ac + bc = 6 - s.
\]

Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwartz, ta có:

\[
(a + b + c)^2 \leq 3 (a^2 + b^2 + c^2).
\]

Khi sử dụng điều này, ta có:

\[
s^2 \leq 3 (a^2 + b^2 + c^2) \implies a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{s^2}{3}.
\]

Chúng ta cần tìm một liên hệ giữa \( s \) và \( ab + ac + bc \). Sử dụng điều kiện \( ab + ac + bc = 6 - s \), ta có:

\[
ab + ac + bc \leq \frac{s^2}{3}.
\]

Như vậy, từ \( ab + ac + bc = 6 - s \), ta có:

\[
6 - s \leq \frac{s^2}{3}.
\]

Giải bất đẳng thức này:

\[
18 - 3s \leq s^2 \implies s^2 + 3s - 18 \geq 0.
\]

Điều này tương đương với bất phương trình:

\[
(s - 3)(s + 6) \geq 0.
\]

Giải bất phương trình này ta được: \( s \geq 3 \) hoặc \( s \leq -6 \). Trong bối cảnh tình huống này, \( s = a + b + c \) không thể âm, do đó ta có \( s \geq 3 \).

Khi \( s \geq 3 \), ta có:

\[
a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{s^2}{3} \geq \frac{9}{3} = 3.
\]

Vậy ta đã chứng minh được rằng:

\[
a^2 + b^2 + c^2 \geq 3.
\]

Kết luận: Điều cần chứng minh đã được xác nhận.