Cho tam giác ABC, trực tâm H. Gọi M là trung điểm của BC, lấy D thuộc tia HM sao cho MH = MD

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a. Chứng minh tứ giác B D H C là hình bình hành

Để chứng minh tứ giác B D H C là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng \( BD \parallel HC \) và \( BH \parallel DC \).

1. **Chứng minh \( BD \parallel HC \)**:
- Theo giả thiết, \( M \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( BM = MC \).
- Theo định nghĩa, \( D \) được chọn sao cho \( MH = MD \).
- Vì \( H \) là trực tâm của tam giác \( ABC \), suy ra \( BH \perp AC \) và \( CH \perp AB \).
- Vậy, từ các yếu tố trên, ta có \( BD \) là đường kéo dài từ điểm \( B \) đến điểm \( D \) trên tia \( HM \), đồng thời cũng có \( HC \) kéo dài từ điểm \( H \) đi qua điểm \( C \). Do đó, theo định nghĩa về tứ giác, ta có \( BD \parallel HC \).

2. **Chứng minh \( BH \parallel DC \)**:
- Tương tự, \( BH \) là đường nối từ điểm \( B \) đến điểm \( H \), trong khi \( DC \) là một đường nối từ điểm \( D \) đến điểm \( C \).
- Cả hai đường này đều vuông góc với \( AC \) (do \( H \) là trực tâm), từ đó kết luận được rằng \( BH \parallel DC \).

Với hai cặp cạnh đối diện song song, tứ giác \( B D H C \) là hình bình hành.

### b. Chứng minh tam giác A B D và tam giác A C D vuông

1. **Tam giác ABD**:
- Từ tính chất của trực tâm, ta có \( BH \perp AC \) (cạnh \( AC \) của tam giác \( ABC \)), và do đó, điểm \( H \) nằm trên đường phân giác vuông góc với \( AC \).
- Kết hợp với \( D \) là điểm nằm trên tia \( HM \) và nằm cách đều từ \( H \), ta có \( AD \perp BD \).
- Vậy, tam giác \( ABD \) vuông tại \( D \).

2. **Tam giác ACD**:
- Theo lý luận tương tự như trên, tam giác \( ACD \) sẽ vuông tại điểm \( D \) khi \( H \) cũng sẽ tạo một góc vuông với cạnh \( AB \) do tính chất của trực tâm.
- Điều này dẫn đến việc \( AC \perp CD \).

### c. Kẻ \( MO \) song song với \( AH \), \( O \) thuộc \( AD \). Chứng minh điểm \( O \) cách đều hai mút của đoạn thẳng \( BC \)

1. **Kẻ đường song song**:
- Kẻ \( MO \) song song với \( AH \) tại điểm \( O \). Từ tính chất đường song song, ta có rằng góc \( OMB \) sẽ bằng góc \( AHB \), và tương tự cho góc với điểm \( C \).

2. **Chứng minh điểm \( O \) cách đều**:
- Do \( O \) là điểm trên đường phân giác của tam giác vuông \( ABC \) khi kéo dài ra ngoài, điểm \( O \) cũng cách đều điểm \( B \) và \( C \) vì \( A \) được đặt lên trên đường thẳng vuông góc với \( BC \).
- Từ đây, ta kết luận rằng chiều dài \( OB \) bằng chiều dài \( OC \).

Như vậy, ta đã chứng minh mọi yêu cầu của bài toán.