Để chứng minh \( a^2 \) chia cho 5 dư 4, ta có thể bắt đầu từ điều kiện mà bạn đã cho: \( a \equiv 3 \mod 5 \).

Điều này có nghĩa là tồn tại một số nguyên \( k \) sao cho:
\[
a = 5k + 3
\]

Bây giờ, ta sẽ tính \( a^2 \):
\[
a^2 = (5k + 3)^2 = 25k^2 + 30k + 9
\]

Khi chia \( a^2 \) cho 5, ta chú ý vào phần dư:
\[
a^2 \mod 5 = (25k^2 + 30k + 9) \mod 5
\]

Ta sẽ kiểm tra từng phần một:
- \( 25k^2 \mod 5 = 0 \) (vì 25 chia hết cho 5)
- \( 30k \mod 5 = 0 \) (vì 30 chia hết cho 5)
- \( 9 \mod 5 = 4 \)

Do đó,
\[
a^2 \mod 5 = 0 + 0 + 4 = 4
\]

Vậy ta có được kết quả:
\[
a^2 \equiv 4 \mod 5
\]

Từ đó, ta chứng minh rằng \( a^2 \) chia cho 5 dư 4.