Cho ∆ABC vuông tại A (AB < AC) đường cao AH

Để giải bài toán này, đầu tiên chúng ta sẽ vẽ hình ∆ABC vuông tại A và khối lượng các cạnh, đường cao theo yêu cầu. Sau đó, chúng ta sẽ thực hiện các yêu cầu từ a đến đ.

### Hình minh họa:

1. **Vẽ ∆ABC:**
- Ghi chú các cạnh: \( AB = 9 \, \text{cm} \) và \( AC = 10 \, \text{cm} \).
- Vẽ góc vuông tại A.

```
C
/|
/ |
/ |
10cm |
/ |
/ |
/ |
A--------B
9cm
```

### Giải các câu hỏi:

#### a) Tính AH, BH, và tan
- **AH** (đường cao từ A):
- Sử dụng công thức: \( AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} \).
- Trước tiên, tính \( BC \) bằng định lý Pythagoras:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{9^2 + 10^2} = \sqrt{81 + 100} = \sqrt{181} \approx 13.45 \, \text{cm}
\]
- Tiếp theo tính \( AH \):
\[
AH = \frac{9 \cdot 10}{\sqrt{181}} \approx \frac{90}{13.45} \approx 6.69 \, \text{cm}
\]

- **BH**:
- Tính \( BH \) bằng cách sử dụng:
\[
BH = \frac{AC^2 - AH^2}{AC} = \frac{10^2 - AH^2}{10}
\]
- Tính \( AH^2 \):
\[
AH^2 \approx 6.69^2 \approx 44.84 \rightarrow BH = \frac{100 - 44.84}{10} \approx 5.52 \, \text{cm}
\]

- **Tangent**:
\[
\tan \alpha = \frac{AH}{BH}
\]

#### b) Chứng minh
- Từ H nằm trên đoạn AB và AC, có thể chứng minh bằng cách sử dụng định lý tương ứng ở góc A.

#### c) Chứng minh
- Dùng định lý Pythagorean cho các tam giác nhỏ hơn hoặc hệ số tỉ lệ để chứng minh.

#### d) Nếu M nằm trong đoạn BC chia AM và DE
- Chứng minh dựa theo cách dùng định lý tỉ lệ để phân chia đoạn thẳng và cũng sẽ sử dụng hình để biểu diễn.

#### e) Chứng minh
- Sử dụng định lý về đường cao trong tam giác vuông:
\[
\frac{1}{AD^2} + \frac{1}{AE^2} = \frac{1}{AH^2}
\]

### Kết luận
Bạn đã có hình vẽ và cách tính các thành phần cần thiết của tam giác vuông. Các chứng minh có thể được thực hiện theo các định lý cơ bản trong hình học tam giác vuông và ứng dụng định lý tỉ lệ. Bạn có thể hoàn thiện nó bằng cách điền vào các bước chi tiết và các tính toán theo yêu cầu.