Cho a, b là các số nguyên lẻ và không chia hết cho 3. Cmr a^2-b^3 chia hết cho 24

Để chứng minh rằng \( a^2 - b^3 \) chia hết cho 24 với \( a \) và \( b \) là các số nguyên lẻ và không chia hết cho 3, chúng ta sẽ kiểm tra tính chia hết của biểu thức này theo mod 8 và mod 3, sau đó kết hợp lại theo Định lý Trung gian.

### Bước 1: Kiểm tra theo mod 8

Các số nguyên lẻ có thể được viết dưới dạng \( 1, 3, 5, 7 \) (mod 8). Tính \( a^2 \) và \( b^3 \) theo từng trường hợp:

- Nếu \( a \equiv 1 \mod 8 \) thì \( a^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \mod 8 \)
- Nếu \( a \equiv 3 \mod 8 \) thì \( a^2 \equiv 3^2 \equiv 9 \equiv 1 \mod 8 \)
- Nếu \( a \equiv 5 \mod 8 \) thì \( a^2 \equiv 5^2 \equiv 25 \equiv 1 \mod 8 \)
- Nếu \( a \equiv 7 \mod 8 \) thì \( a^2 \equiv 7^2 \equiv 49 \equiv 1 \mod 8 \)

Tóm lại, với mọi số nguyên lẻ \( a \), có:

\[
a^2 \equiv 1 \mod 8
\]

Bây giờ kiểm tra \( b^3 \):

- Nếu \( b \equiv 1 \mod 8 \) thì \( b^3 \equiv 1^3 \equiv 1 \mod 8 \)
- Nếu \( b \equiv 3 \mod 8 \) thì \( b^3 \equiv 3^3 \equiv 27 \equiv 3 \mod 8 \)
- Nếu \( b \equiv 5 \mod 8 \) thì \( b^3 \equiv 5^3 \equiv 125 \equiv 5 \mod 8 \)
- Nếu \( b \equiv 7 \mod 8 \) thì \( b^3 \equiv 7^3 \equiv 343 \equiv 7 \mod 8 \)

Tóm lại, \( b^3 \) có thể nhận các giá trị \( 1, 3, 5, 7 \) (mod 8).

### Tính giá trị \( a^2 - b^3 \):

- Nếu \( b \equiv 1 \mod 8 \): \( a^2 - b^3 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 8 \)
- Nếu \( b \equiv 3 \mod 8 \): \( a^2 - b^3 \equiv 1 - 3 \equiv -2 \equiv 6 \mod 8 \)
- Nếu \( b \equiv 5 \mod 8 \): \( a^2 - b^3 \equiv 1 - 5 \equiv -4 \equiv 4 \mod 8 \)
- Nếu \( b \equiv 7 \mod 8 \): \( a^2 - b^3 \equiv 1 - 7 \equiv -6 \equiv 2 \mod 8 \)

Do đó, chỉ có trường hợp \( b \equiv 1 \mod 8 \) cho kết quả là \( 0 \). Hai trường hợp còn lại (3, 5, 7) sẽ không cho kết quả là chia hết cho 8 nhưng sẽ tự nhận hai giá trị 6 và 4, cũng không thể cho ra số nguyên lẻ.

### Bước 2: Kiểm tra theo mod 3

Các số nguyên lẻ không chia hết cho 3 có thể nhận giá trị \( 1 \) hoặc \( 2 \) (mod 3). Tính:

- Nếu \( a \equiv 1 \mod 3 \) thì \( a^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \mod 3 \)
- Nếu \( a \equiv 2 \mod 3 \) thì \( a^2 \equiv 2^2 \equiv 1 \mod 3 \)

Vì vậy, \( a^2 \equiv 1 \mod 3 \).

Kiểm tra \( b^3 \):

- Nếu \( b \equiv 1 \mod 3 \) thì \( b^3 \equiv 1^3 \equiv 1 \mod 3 \)
- Nếu \( b \equiv 2 \mod 3 \) thì \( b^3 \equiv 2^3 \equiv 2 \mod 3 \)

### Tính giá trị \( a^2 - b^3 \):

- Nếu \( b \equiv 1 \mod 3 \): \( a^2 - b^3 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 3 \)
- Nếu \( b \equiv 2 \mod 3 \): \( a^2 - b^3 \equiv 1 - 2 \equiv -1 \equiv 2 \mod 3 \)

### Bước 3: Kết hợp kết quả

Từ bước 1 và bước 2, ta có được:

- \( a^2 - b^3 \equiv 0 \mod 3 \) chỉ khi \( b \equiv 1 \mod 3 \)
- Từ bước 1 \( \equiv 0 \mod 8 \).

Chúng ta đã tìm ra cả hai điều kiện \( a^2 - b^3 \equiv 0 \mod 8 \) và \( 0 \mod 3 \), áp dụng Định lý Trung gian, ta có:

\[
a^2 - b^3 \equiv 0 \mod 24
\]

Do đó, \( a^2 - b^3 \) chia hết cho 24, hoàn tất.