Tìm số tự nhiên có 4 chữ số abcd biết nó thỏa mãn cả ba điều kiện sau

Để tìm số tự nhiên có 4 chữ số \( abcd \) thỏa mãn cả ba điều kiện sau:

1. \( c \) là chữ số cuối cùng của số \( M = 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{101} \).
2. \( abcd \equiv 25 \mod 100 \).
3. \( ab = a + b^2 \).

### Bước 1: Tính chữ số cuối cùng của \( M \)

Biểu thức \( 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{101} \) là một cấp số nhân. Tổng của một cấp số nhân là:

\[
S = \frac{a_1 (r^n - 1)}{r - 1}
\]

Với \( a_1 = 5 \), \( r = 5 \), và \( n = 101 \):

\[
M = \frac{5(5^{101} - 1)}{5 - 1} = \frac{5(5^{101} - 1)}{4} = \frac{5^{102} - 5}{4}
\]

Chúng ta muốn tìm chữ số cuối cùng của \( M \), tức là \( M \mod 10 \). Số \( 5^n \mod 10 \) luôn là 5 với \( n \geq 1 \). Vậy:

- \( 5^{102} \mod 10 = 5 \)
- \( 5 \mod 10 = 5 \)

Vậy:

\[
M \equiv \frac{5 - 5}{4} \equiv 0 \mod 10
\]

Từ đó, \( c = 0 \).

### Bước 2: Tìm \( abcd \equiv 25 \mod 100 \)

Vì \( c = 0 \), nên \( abcd \) có dạng \( ab0d \). Để \( ab0d \equiv 25 \mod 100 \), ta có:

\[
d \equiv 25 \mod 100
\]

Vì \( d \) là chữ số, nên \( d = 5 \). Vậy \( ab0d = ab05 \).

### Bước 3: Giải phương trình \( ab = a + b^2 \)

Gọi \( a \) và \( b \) là chữ số của số \( ab0d \).

Ta có thể viết lại phương trình:

\[
10a + b = a + b^2
\]

Sắp xếp lại, ta có:

\[
9a = b^2 - b
\]

Vậy:

\[
b^2 - b - 9a = 0
\]

Để có \( b \) là chữ số tự nhiên (0-9), chúng ta tìm giá trị của \( a \) từ 1 đến 9 (vì \( abcd \) là số tự nhiên có 4 chữ số):

### Bước 4: Thử các giá trị \( a \) và tìm \( b \)

1. **Nếu \( a = 1 \)**:
\[
b^2 - b - 9 = 0 \Rightarrow b = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 36}}{2} = \frac{1 \pm 7}{2} \Rightarrow b = 4 \quad (b = -3 \text{ không hợp lệ})
\]

2. **Nếu \( a = 2 \)**:
\[
b^2 - b - 18 = 0 \Rightarrow \Delta = 1 + 72 \Rightarrow b không nguyên
\]

3. **Nếu \( a = 3 \)**:
\[
b^2 - b - 27 = 0 \Rightarrow \Delta = 1 + 108 \Rightarrow b không nguyên
\]

4. **Nếu \( a = 4 \)**:
\[
b^2 - b - 36 = 0 \Rightarrow b không nguyên
\]

5. **Nếu \( a = 5 \)**:
\[
b^2 - b - 45 = 0 \Rightarrow b không nguyên
\]

6. **Nếu \( a = 6 \)**:
\[
b^2 - b - 54 = 0 \Rightarrow b không nguyên
\]

7. **Nếu \( a = 7 \)**:
\[
b^2 - b - 63 = 0 \Rightarrow b không nguyên
\]

8. **Nếu \( a = 8 \)**:
\[
b^2 - b - 72 = 0 \Rightarrow b không nguyên
\]

9. **Nếu \( a = 9 \)**:
\[
b^2 - b - 81 = 0 \Rightarrow b không nguyên
\]

### Kết luận

Chỉ có duy nhất \( (a,b) = (1,4) \) thỏa mãn. Vậy số tự nhiên \( abcd = 1405 \).

Đáp án cuối cùng là số tự nhiên có 4 chữ số là **1405**.