Để giải phương trình \( x + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}x - \frac{5}{6} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Đưa tất cả các hạng tử về cùng một phía.**

Bắt đầu bằng cách đưa tất cả các hạng tử chứa \( x \) về một phía và các hạng tử khác về phía còn lại.

\[
x - \frac{1}{2}x = -\frac{5}{6} - \frac{1}{4}
\]

2. **Giản lược các hạng tử.**

Thực hiện phép trừ trên phía bên trái:
\[
\frac{1}{2}x = -\frac{5}{6} - \frac{1}{4}
\]

Để cộng hai phân số \( -\frac{5}{6} \) và \( -\frac{1}{4} \), chúng ta cần quy đồng chúng lại với nhau.

Phân số thứ nhất có mẫu số là 6, phân số thứ hai có mẫu số là 4. Mẫu số chung nhỏ nhất giữa 6 và 4 là 12.

Ta có:
\[
-\frac{5}{6} = -\frac{10}{12} \quad \text{và} \quad -\frac{1}{4} = -\frac{3}{12}
\]

Vậy:
\[
-\frac{5}{6} - \frac{1}{4} = -\frac{10}{12} - \frac{3}{12} = -\frac{13}{12}
\]

Thay vào phương trình, ta có:
\[
\frac{1}{2}x = -\frac{13}{12}
\]

3. **Giải cho \( x \).**

Nhân cả hai vế với 2 để tìm \( x \):
\[
x = 2 \cdot -\frac{13}{12} = -\frac{26}{12} = -\frac{13}{6}
\]

Vậy nghiệm của phương trình là:
\[
x = -\frac{13}{6}
\]